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1、第八节 函数与方程(全国卷5年3考),【知识梳理】 1.函数的零点 (1)定义:对于函数y=f(x)(xD),把使_成立的 实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.,f(x)=0,(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根函 数y=f(x)的图象与_有交点函数y=f(x)有_. (3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的 图象是连续不断的一条曲线,并且有_,那 么函数y=f(x)在区间_内有零点,即存在x0(a,b), 使得_.,x轴,零点,f(a)f(b)0,(a,b),f(x0)=0,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x
2、2,0),(x1,0),2,1,0,【常用结论】 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.,(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”错误的打“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ( ) (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在当b2-4ac0时没有零点. ( ),(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0,则f(x)在(a,
3、b)内没有零点. ( ),【提示】(1).函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标. (2).当b2-4ac0. (4).若在区间a,b内有多个零点,f(a)f(b)0也可以.,2.函数f(x)= 的零点是_. 【解析】由lg x=0(x0)得x=1,由x2-4=0(x0)得x=-2, 所以函数的零点为-2,1. 答案:-2,1,3.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是_.,【解析】因为函数f(x)的图象为直线,由题意可得 f(-1)f(1)0,所以(-3a+1)(1-a)0,解得 所以实数a的取值范围是 答案:,题组二:走进教材 1.(必修1P92
4、T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( ),【解析】选A.根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点.,2.(必修1P92T5改编)函数f(x)= 的零点所在的 大致区间是 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C. 和(3,4) D.(4,+),【解析】选B.因为f(2)=ln 2-10,f(3)= 且函数f(x)的图象连续不断,f(x)为增函数,所以f(x) 的零点在区间(2,3)内.,3.(必修1P92T4改编)函数f(x)= 的零点个数为 _.,【解析】作函数 的图象如图所示,由图象知函数f(x)有1个零点. 答案:1,考点一 判断函数零点所在区间
5、 【题组练透】 1.函数f(x)=ln(x+1)- 的一个零点所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),【解析】选B.因为f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1) =ln 2-10,所以f(x)的零点所在区 间为(1,2).,2.设函数 则函数y=f(x) ( ) A.在区间 (1,e)内均有零点 B.在区间 (1,e)内均无零点 C.在区间 内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点,【解析】选D.令f(x)=0得 作出函数 和 y=ln x的图象,如图, 显然y=f(x)在 内无零点,在(1,e)内有零点
6、.,3.设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),【解析】选B.方法一:函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下:,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).,方法二:由于f(1)=-10,f(2)f(1)0,所以函数f(x)=ln x+x-2的零点在区间(1,2)内.,【规律方法】确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理. (2)数形结合法.,考点二 确定函数零点的个数 【典例】(2018梅州模拟)已知
7、f(x)= 则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为_. 世纪金 榜导学号,【解析】函数g(x)=f(x)-ex的零点个数即为函数y=f(x)与y=ex的图象的交点个数.作出函数图象可知有2个交点,即函数g(x)=f(x)-ex有2个零点. 答案:2,【规律方法】函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点. (2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数. (3)利用函数图象的交点个数判断.,【对点训练】 函数f(x)= 的零点个数是_.,【解析】当x0时,令x2-2=0,解得x= (正根舍去), 所以在(-,0上有一个零点;当x0时,f(x)=2+ 0恒成立,所以f(x)在(0,+)
8、上是增函数. 又因为f(2)=-2+ln 20,所以f(x)在 (0,+)上有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2. 答案:2,考点三 函数零点的应用 【明考点知考法】 已知函数零点求参数值或范围是常考内容,选择题、填空题和解答题均有可能出现,主要考查零点的应用及数形结合思想与等价转化思想的应用,难度属中高档.,命题角度1 由函数零点个数求参数的值或范围 【典例】(2017全国卷)已知函数f(x)=x2-2x+ a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= ( ),【解析】选C.令f(x)=0,则x2-2x=-a(ex-1+e-x+1), 设g(x)=ex-1+e-x+1, 则g(x)=
9、ex-1-e-x+1=ex-1- 当g(x)=0时,x=1, 故当x1时,g(x)0,函数g(x)在(-,1)上单调递减,当x1时,g(x)0,函数g(x)在(1,+)上单调递增, 当x=1时,函数g(x)取得最小值2, 设h(x)=x2-2x,当x=1时,函数h(x)取得最小值-1, 若-a0,h(1)=-ag(1)时,此时函数h(x)和-ag(x)有一 个交点,即-a2=-1a= .,【状元笔记】 由函数的零点个数求参数的值或范围的策略 已知函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图形一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.,命题角度2 根据函数有
10、无零点求参数 【典例】已知函数 则使函数g(x)=f(x) +x-m有零点的实数m的取值范围是 ( ) A.0,1) B.(-,1) C.(-,1(2,+) D.(-,0(1,+),【解析】选D.函数g(x)=f(x)+x-m的零点就是方程 f(x)+x=m的根,画出h(x)=f(x)+x= 的大致图 象(图略). 观察它与直线y=m的交点,得知当m0或m1时,有交点, 即函数g(x)=f(x)+x-m有零点.,【状元笔记】 由函数有无零点求参数问题的解题步骤 (1)对解析式变形. (2)在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象. (3)数形结合求解.,命题角度3 比较大小 【典例】已知函数f(
11、x)=2x+x, 的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 ( ) A.x1x2x3 B.x2x1x3 C.x1x3x2 D.x3x2x1,【解析】选D.由f(x)=2x+x=0, 得2x=-x, 在坐标 系中分别作出y=2x,y=-x;y=x, y=log2x, 的图象,由图象可知-11,所以x3x2x1.,【状元笔记】 借助函数零点比较大小的策略 要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a),f(b)与0的大小.,【对点练找规律】 1.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-m 有3个零点,则实数m的取值范围是_.,【解析】画出函数f(x)= 的图象,如图
12、所示.,由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得0m1,即m(0,1). 答案:(0,1),2.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)= 的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 _.,【解析】因为f(x)=x+2x的零点必定小于零,g(x)=x+ ln x的零点必位于(0,1)内,函数h(x)= 的零 点必定大于1, 所以这三个函数的零点依次增大,即x1x2x3. 答案:x1x2x3,3.若函数 的图象与x轴有公共点,则m的取 值范围是_.,【解析】作出函数g(x)= 的图象如图,由图象可知0g(x)1,则mg(x)+m1+m, 即mf(
13、x)1+m, 要使函数 的图象与x轴有公共点, 则 解得-1m0. 答案:-1,0),巧用结论系列1二次函数的零点分布问题 【结论诠释】二次函数的零点分布情况多样,比较复杂,常结合二次函数的图象从判别式“”、端点函数值、对称轴三方面入手综合考虑.设二次函数y=ax2+ bx+c(a0)对应方程ax2+bx+c=0的根为x1,x2,其零点分布情况如下:,【典例】m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. (1)有且仅有一个零点? (2)有两个不同零点且均比-1大?,【解析】(1)f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点方程f(x)=0有两个相等实根=0,即4m2-4(3m+4)=0,
14、即m2-3m-4=0,所以m=4或m=-1.,(2)方法一:设f(x)的两个零点分别为x1,x2, 则x1+x2=-2m,x1x2=3m+4. 由题意,知,所以-5m-1,故m的取值范围为(-5,-1).,方法二:由题意,知 所以-5m-1.所以m的取值范围为(-5,-1).,【技法点拨】 解决与二次函数有关的零点问题的三种方法 (1)利用一元二次方程的求根公式. (2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系. (3)利用二次函数的图象列不等式组.,【即时训练】 已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,则实数a的取值范围是_.,【解析】方法一:设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x1,x2(x1x2),则(x1-1)(x2-1)0, 所以x1x2-(x1+x2)+10, 由根与系数的关系,得(a-2)+(a2-1)+10, 即a2+a-20,所以-2a1. 故实数a的取值范围为(-2,1).,方法二:函数f(x)的图象大致如图, 则有f(1)0,即1+(a2-1)+a-20, 得a2+a-20,所以-2a1. 故实数a的取值范围是(-2,1). 答案:(-2,1),