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1、第三节 平面向量的数量积及应用举例 (全国卷5年6考),【知识梳理】 1.向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量a和b,作 则_=叫做向量a与b的夹角.,AOB,(2)范围:向量夹角的范围是_. 当a与b_时,=0;a与b_时,=180;a与b _时,=90.,0180,同向,反向,垂直,2.平面向量的数量积,|a|b|cos ,3.平面向量数量积的运算律 (1)ab=ba. (2)(a)b=(ab). (3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),=,0,x1x2+y1y2,【常用结论】 (1)两向量a与b为锐角ab0且
2、a与b不共线. (2)两向量a与b为钝角ab0且a与b不共线. (3)|a|cos (|b|cos )(是a与b的夹角)叫做向量 a在b(b在a)方向上的投影.,(4)(ab)2=a22ab+b2. (5)(a+b)(a-b)=a2-b2. (6)a与b同向时,|ab|=|a|b|. (7)a与b反向时,|ab|=-|a|b|.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”错误的打“”) (1)两个向量的夹角的范围是 . ( ) (2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不 是向量. ( ),(3)ab0,则a与b的夹角为锐角;ab0,则a与b的夹角为钝角. ( ) (4)
3、两向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. ( ),答案:(1).由两个向量夹角的定义可知:两个向量夹 角的范围为 . (2).因为向量a在b方向上的投影|a|cos ,它是一 个实数值.,(3).因为ab0,则a与b的夹角为锐角或零角;ab0, 则a与b的夹角为钝角或平角. (4).由向量的数量积,向量的加法、减法、数乘运算 的定义可知,两个向量的数量积结果为一实数,两个向量 的和或差结果为向量,向量的数乘运算结果为向量.,2.在ABC中,若 则 的值 为 ( ),【解析】选A.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,由 得ac + 2bc =ab ,化简
4、可得a= c. 由正弦定理得,3.设向量a=(log23,m),b=(log34,-1),且ab,则m的值 为_. 【解析】由题设log23log34-m=0,则m=log23log34= =2. 答案:2,题组二:走进教材 1.(必修4P108A组T2改编)在ABC中,AB=3,AC=2,BC= ,则 的值为 ( ),【解析】选A.在ABC中,由余弦定理得cos A= 所以 =| | |cos(-A)=-| | | cos A=-32 =- .,2.(必修4P108A组T7改编)已知两个非零向量a,b,满足a(a-b)=0,且2|a|=|b|,则= ( ) A.30 B.60 C.120 D
5、.150,【解析】选B.由题知a2=ab,而cos= 所以=60.,考点一 平面向量数量积的基本概念及运算 【题组练透】 1.(2018全国卷)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1, 则a(2a-b)= ( ) A.4 B.3 C.2 D.0,【解析】选B.因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)= 2a2-ab=21-(-1)=3.,2.设单位向量e1,e2的夹角为 ,a=e1+2e2,b=-3e2,则a 在b方向上的投影为 ( ),【解析】选B.由题意可得:e1e2=11cos =- , ab=(e1+2e2)(-3e2)=-3e1e2-6 =- ,|a|= ,|b|=3,据此可
6、得:a在b方向上的投影 为,3.已知A(-2,0),B(2,0),动点P(x,y)满足 =x2, 则动点P的轨迹为 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.两条平行直线,【解析】选D.因为动点P(x,y)满足 =x2,所以 (-2-x,-y)(2-x,-y)=x2,所以点P的轨迹方程为y2=4, 即y=2,所以动点P的轨迹为两条平行的直线.,4.已知点M(1,0),A,B是椭圆 +y2=1上的动点, 且 =0,则 的取值范围是 ( ) A. B.1,9 C. D.,【解析】选C.由 =0,可得 = ( - )=| |2,设A(2cos ,sin ),则| |2= (2cos -1)2+s
7、in2=3cos2-4cos +2=3 + ,所以当cos = 时,| |2取得最小值 ,当 cos =-1时,| |2取得最大值9,故 的取值范 围为 .,5.(2017全国卷)已知平面向量a与b的夹角为60, =2,|b|=1,则|a+2b|= ( ) A. B.2 C.4 D.12,【解析】选B.由题得,|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+42 1cos 60+4=12.所以|a+2b|=2 .,【一题多解】选B.利用如下图形,可以判断出a+2b的模 长是以2为边长的菱形对角线的长度,则为2 .,6.已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b. 若bc=0,则t=_
8、. 【解析】由题意,将bc=ta+(1-t)bb整理得 tab+(1-t)b2=0,又因为ab= ,所以t=2. 答案:2,【规律方法】平面向量数量积的计算方法 已知向量a,b的模及夹角,利用公式ab= |a|b|cos 求解; 已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解. 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利 用数量积的运算律化简,再进行运算.,考点二 向量的数量积在平面几何中的应用 【典例】(1)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 = 2 , = (R),且 =-4,则的 值为_.,【解析】 =32cos 60=3, = 则 = 3+ 4- 9- 3=-4= . 答
9、案:,(2)已知O,N,P在ABC所在平面内,且| |=| |=| |, =0,且 ,则点O,N,P依 次是ABC的 ( ) A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心),【解析】选C.由| |=| |=| |知,O为ABC的外 心;由 =0知,N为ABC的重心;因为 ,所以( ) =0,所以 =0, 所以 ,即CAPB,同理APBC,CPAB,所以P为 ABC的垂心.,【规律方法】 1.平面向量在平面几何中数量积的三种求法 (1)利用定义求解. (2)利用向量的坐标运算求解. (3)利用向量数量积
10、的几何意义求解.,2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略 (1)利用运算律结合图形先化简再运算. (2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).,【拓展】三角形四心的向量表示 在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足: 1. =0,则点O为三角形的重心. 2. ,则点O为三角形的外心.,3. 或者| |2+| |2=| |2+ | |2=| |2+| |2,则点O为三角形的垂心. 4. =0,则点O为三角形的内心.,【对点训练】 1.如图,AB是半圆O的直径,P是 上的点,M,N是直径AB 上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则 等于 ( ) A.13 B.7 C
11、.5 D.3,【解析】选C.连接AP,BP,则,2.已知O为ABC内一点,AOB=120,OA=1,OB=2,过点 O作ODAB于点D,E为线段OD的中点,则 的值为 _.,【解析】如图,AOB=120,OA=1,OB=2,ODAB,E为线 段OD的中点,则 =0,所以,在AOB中,由余弦定理可得AB= , 因为SAOB= ABOD= OAOBsin 120, 即 OD= 12 , 所以OD= ,所以 答案:,考点三 向量数量积的综合应用 【明考点知考法】 向量数量积的综合应用,是高考命题的热点,试题常以选择题、填空题的形式出现,考查向量的模、夹角以及与平行、垂直有关的问题.解题过程中常常渗透
12、数学运算的核心素养.,命题角度1 平面向量的模 【典例】(2018衡水模拟)已知|a|=1,|b|=2,a与b的 夹角为 ,那么|4a-b|等于 ( ) A.2 B.6 C.2 D.12,【解析】选C.|4a-b|2=16a2+b2-8ab =161+4-812cos =12. 所以|4a-b|=2 .,【状元笔记】 求模问题: 在求向量的模时,一定要注意公式|a|= 的应用,即 将向量的长度(或模)转化为向量数量积.,命题角度2 平面向量的夹角问题 【典例】已知向量 =(x,1)(x0), =(1,2),| | = ,则 , 的夹角为 ( ),【解析】选C.因为 = - =(1-x,1),
13、所以| |2=(1-x)2+1=5,即x2-2x-3=0, 解得x=3或x=-1(舍).设 , 的夹角为, 则cos = ,所以= .,【状元笔记】 夹角问题: 求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角.,命题角度3 平面向量中的平行或垂直问题 【典例】(1)已知平面向量a=(-2,m),b=(1, ),且 (a-b)b,则实数m的值为 ( ) A.-2 B.2 C.4 D.6,【解析】选B.因为a=(-2,m),b=(1, ), 所以a-b=(-2,m)-(1, )=(-3,m- ). 由(a-b)b,得(a-b)b=0,即(-3,m-
14、) (1, )=-3+ m-3= m-6=0,解得m=2 .,(2)已知向量a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若 (5a-2c)(12b-2c)=0,则|c|的最大值是_.,【解析】因为ab=0,|a|=|b|=1, 所以(5a-2c)(12b-2c) =60ab-10ac-24bc+4c2=0, 即2|c|2=5ac+12bc=(5a+12b)c, 当c与5a+12b共线时,|c|最大,所以4|c|2=(5a+12b)2 =25|a|2+120ab+144|b|2 =25+144=169,所以|c|max= . 答案:,【状元笔记】 平行与垂直问题: 解决关于平面向量的平行与垂直问题,其
15、关键是充分利 用平行与垂直的充要条件,得出一个等式,然后求解.,【对点练找规律】 1.已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|a-b|= ( ) A.0 B.1 C.2 D.,【解析】选D.|a-b|=,2.(2017全国卷)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且 ab,则m=_. 【解析】因为a=(-2,3),b=(3,m),且ab,所以-23+ 3m=0,m=2. 答案:2,3.(2018桂林模拟)已知向量a,b的夹角为 ,|a|= , |b|=2,则a(a-2b)=_.,【解析】a(a-2b)=a2-2ab=2-2 2 =6. 答案:6,数学能力系列15平面向量数量
16、积中的运算求解能力 【能力诠释】运算求解能力是指根据法则、公式进行 变形的正确运算,根据问题的条件寻找与设计合理、简 捷的运算途径,它包括:分析运算条件、探究运算公式、 确定运算程序:,与向量数量积有关运算求解能力应关注以下三点: (1)平面向量数量积的定义及运算公式. (2)明确是哪两个向量的数量积. (3)能建立平面直角坐标系的尽量建立坐标系.,【典例】已知 与 的夹角为90,| |=2,| |= 1, = + (,R),且 =0,则 的 值为_.,【解析】根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以 =(0,2), =(1,0), =(1,-
17、2).,设M(x,y),则 =(x,y),所以 =(x,y)(1,-2)= x-2y=0,所以x=2y,又因为 = + ,即(x,y)= (0,2)+(1,0)=(,2),所以x=,y=2,所以 = 答案:,【技法点拨】 与向量数量积有关参数问题的求解方法 一是选择坐标形式的运算还是直接进行运算; 二是寻找含有参数的方程或不等式; 三是解方程或不等式即可求解.,【即时训练】 已知a,b满足|a|= ,|b|=1,且对任意的实数x,不等式 |a+xb|a+b|恒成立,设a,b的夹角为,则tan 2= _.,【解析】如图所示,当(a+b)b时,对任意的实数x,a+ xb= 或a+xb= ,因为在直角三角形中,斜边大于直角边恒成立,数形结合 知,不等式|a+xb|a+b|恒成立,因为(a+b)b,a,b满 足|a|= ,|b|=1,所以(a+b)b=0,ab+b2=0, tan =- ,tan 2= 答案:2,