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1、第一章 第一章 集合、逻辑联结词、集合、逻辑联结词、 复数复数、程序框图、程序框图 第第3节节 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 知识梳理知识梳理 判定充分条件、必要条件的两种方法判定充分条件、必要条件的两种方法 1.定义法定义法:(1)若若AB,则则A是是B的的充分充分条件条件,B是是A的的必要必要条件条件. (2)若若BA,则则A是是B的的必要必要条件条件,B是是A的的充分充分条件条件. (3)若若AB,则则A是是B 的的充分必要充分必要条件条件. 2.利用集合的包含关系利用集合的包含关系 若若AB ,则则A是是B的的充分充分条件条件,B是是A的的必要必要条件条件. 若若A B,则则A
2、是是B的的充分充分条件条件.若若A=B,则则A是是B的的充分必要充分必要条件条件. 精选例题精选例题 【例例1】 (2014广东广东)在在 ABC中中,角角A,B,C所对的边为所对的边为a,b,c,则则 “ab ”是是“sinAsinB ”的的( ) A.充要条件充要条件 B.充分不必要条件充分不必要条件 C.必要不充分条件必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 A :2 ,2 sin,2 sin, sinsin ,2 sin2 sin,sin(sin, .A ) . ab RaRA bRB AB abRARB RAB 【答案】 【解析】由正弦定理知 由得到为正数 所以有
3、 反之也成立选 【例例2】 (2014新课标新课标卷卷)函数函数f(x)在在x=x0处导数存在处导数存在,若若 p:f(x0)=0;q:x=x0是是f(x)的极值点的极值点,则则( ) A.p是是q的充分必要条件的充分必要条件 B.p是是q的充分条件的充分条件,但不是但不是q的必要条件的必要条件 C.p是是q的必要条件的必要条件,但不是但不是q的充分条件的充分条件 D.p既不是既不是q的充分条件的充分条件,也不是也不是q的必要条件的必要条件 【答案答案】 C 【解析解析】 f(x)在在x=x0 处导数处导数f(x0)=0 时不一定是极值点时不一定是极值点,(例如例如 f(x)=3,f(x)=0
4、,因为因为f(x)=3是一条直线是一条直线,没有极值点没有极值点.)所以顺推不成所以顺推不成 立立,但是如果函数但是如果函数f(x) 在在x=x0 处有极值点处有极值点,则一定有则一定有f(x0)=0,反推反推 成立成立.所以应该选所以应该选C. 专题训练专题训练 1.“x21”是是“x2”的的( ) A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案答案】 B 【解析解析】 x21时时, x可以是可以是x-1 不一定大于不一定大于2, 但是但是x2时时,x21一定成立一定成立.选选B. 2.在在ABC
5、中中,“A=B”是是“tanA=tanB”的的 条件条件. 【答案答案】充要充要 【解析解析】 由由A=B,得得tanA=tanB,反之反之, 若若tanA=tanB,则则A=B+k,kZ. 00 且且b0”是是“a+b0 且且ab0”的的 ( ) A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案答案】 C 【解析解析】 a0且且b0 时一定有时一定有ab0, a+b0,反之也成立反之也成立.选选C. 5.若若a,b是两个非零向量是两个非零向量,则则“|a+b|=|a-b|”是是“ab”的的 ( )
6、A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案答案】 C 【解析解析】 |a+b|=|a-b|时时,两边平方有两边平方有:(a+b)2=(a-b)2, 得到得到 a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,所以所以:2ab=-2ab,所以所以ab=0,ab , 反之也成立反之也成立.选选C. 6.在在ABC中中,“A=60”是是“cosA= ”的的( ) A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 1 2 C 1
7、 ,60,cos, 2 1 ,cos,0180 ,60. 2 60 .C. ABCAA AABCA A 【答案】 【解析】在中时 反之 当时 在中只有满足要求 所以选 7.(2011新课标卷新课标卷,文文)下面四个条件中下面四个条件中,使使ab成立的充分不必要成立的充分不必要 的条件是的条件是( ) A.ab+1 B.ab-1C.a2b2 D.a3b3 【答案答案】 A 【解析解析】 ab+1时时,一定有一定有ab,但是但是ab时时,不一定有不一定有ab+1. 8.设四边形设四边形ABCD的两条对角线为的两条对角线为AC,BD,则则“四边形四边形ABCD为菱为菱 形形”是是“ACBD”的的(
8、) A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案答案】 A 【解析解析】 当四边形当四边形ABCD为菱形时为菱形时,必有对角线互相垂直必有对角线互相垂直,即即 ACBD; 当四边形当四边形ABCD中中ACBD时时,四边形四边形ABCD不一定是菱形不一定是菱形,还需还需 要要AC与与BD互相平分互相平分. 综上知综上知,“四边形四边形ABCD为菱形为菱形”是是“ACBD”的充分不必要的充分不必要 条件条件. 9.已知已知p:xk,q:(x+1)(2-x)2, 又又p是是q的充分不必要条件的充分不必要
9、条件,所以所以k2, 即实数即实数k的取值范围是的取值范围是(2,+). 10.(2011天津天津,文文)设集合设集合A=xR|x-20,B=xR|x0,则则“xAB”是是“xC ”的的( ) A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案答案】 C 【解析解析】 AB=x|x2, 而而C=xR|x(x-2)0=x|x2, 所以所以AB=C.选选C. 11.(2018长郡中学联考长郡中学联考)若若x2m2-3是是-12m2-3”是是“-10,q:xa2-2a-2,若若p是是q的的 充分不必要条件充分
10、不必要条件,则实数则实数a的取值范围是的取值范围是( ) A.-1,+) B.3,+) C.(-,-13,+) D.-1,3 【答案答案】C 【解析解析】 由由p:(x+3)(x-1)0,解得解得x1, 要使得要使得p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件,则则q是是p的充分不必要条件的充分不必要条件, 所以所以a2-2a-21,解得解得a-1或或a3,故选故选C. 15.函数函数,有且只有一个零点的充分不必要条有且只有一个零点的充分不必要条 件是件是( ) A.a0或或a1 B.0aC. a1 D.a0 2 log,0 ( ) 2,0 x x x f x a x 2 ( D log,0 , 2,0 01. ,01D ) . x x x f x a x aa aa 【答案】 【解析】因为 有且只有一个零点的充要条件为或 由选项可知 使或成立的充分条件为选项 1 2 1 2