2019艺考生文化课冲刺点金-数学课件：第三章 专题二 数列 .pdf

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1、专题二专题二 数列数列 在近几年新课标全国卷文科数学中在近几年新课标全国卷文科数学中,数列大题与三角函数出数列大题与三角函数出 现在第现在第17题的位置题的位置,数列与三角函数交替出现数列与三角函数交替出现,也就是说数列与三也就是说数列与三 角函数二选其一角函数二选其一.作为数列题目的大题相对比较容易作为数列题目的大题相对比较容易.考查内容主考查内容主 要包括要包括:等差、等比数列的性质及其综合问题等差、等比数列的性质及其综合问题,由前由前n项和项和Sn求通求通 项项an;递推与求和的综合应用递推与求和的综合应用;利用裂项法或错位相减法求和等利用裂项法或错位相减法求和等. 历年高考命题分析历年

2、高考命题分析 年份年份 试卷类型试卷类型 20142015201620172018 新课标新课标卷卷12121212 新课标新课标卷卷121212 新课标新课标卷卷121212 【近近5年新课标卷考点统计年新课标卷考点统计】 典例解析典例解析 【例例1】 等差数列等差数列an中中,a7=4,a19=2a9 , (1)求求an的通项公式的通项公式; 1 71 1 19911 1,1, 464 1 ,1,. 2182(8 )2 ( )() 1 . 2 nn nn adaand aad ad aaadad n aa 【解析】 设等差数列的公差为则 因为所以,解得 所以的通项公式为 【例例1】 等差数

3、列等差数列an中中,a7=4,a19=2a9 , (2)设设bn= ,求数列求数列bn的前的前n项和项和Sn. 1 n na ( ) ( 1222 2, (1)1 2222222 . 1 )()( 21 ) 231 n n n b nan nnn n S nnn 所以 【例例2】 设设Sn为数列为数列an的前的前n项和项和,已知已知a10,2an-a1=S1Sn,nN* (1)求求a1,a2 ,并求数列并求数列an的通项公式的通项公式; 111111 11 111 11 11 11 1* 1.1,2, 0 ( ) ,1. 22 1,22 21, 2,N . 2 nn nnnnn nnn n n

4、 SanaaSS aa aaaa naSSaa SS aaaaq an 【解析】 当时 当时 是首项为公比为的等比数列 所以有 【例例2】 设设Sn为数列为数列an的前的前n项和项和,已知已知a10,2an-a1=S1Sn,nN* (2)求数列求数列nan 的前的前n项和项和. 123 123 2341 123111 * 2123 123 123 : 1 1 1 2 ( ) () ()121 21,N . nn nn nn n nnnn nnn n Taaan a qTqaqaqan qa qTaaan a q q Taaaanaana q nTnn 设 上式左右错位相减 【例例3】 已知数列

5、已知数列an满足满足a1= ,an+1=an+n,求求an. 1 2 11 112211 22 1(1 (1)(1)111 1 ()()() (11 22222 1111 ,:. 2 )() 22222 nnnn nnnnn n aanaan aaaaaaaa nn nn n nn nan 【解析】 由得 所以 即 【考点一考点一】 直接利用等差直接利用等差(或等比或等比)数列的定义、通项公式、求和数列的定义、通项公式、求和 公式等进行计算公式等进行计算,求出数列的通项公式求出数列的通项公式,进一步利用裂项法、错位进一步利用裂项法、错位 相减法求和或讨论一些相关问题相减法求和或讨论一些相关问题

6、. 考点训练考点训练 1.设数列设数列an满足满足:a1=1,an+1=3an,nN+ . (1)求求an的通项公式及前的通项公式及前n项和项和Sn; (2)已知已知bn是等差数列是等差数列,Tn为数列为数列bn的前的前n项和项和,且且b1=a2, b3=a1+a2+a3,求求T20. 1 : 11,3,3 1 31 31 . 1 3 ( 2 ) () n nn n n n aa S 解由题设知是首项为 公比为 的等比数列 所以 12331 20 23,1 3913,102 ,5 20 19 ( 20 351 10. 2 ) 0 babbbdd T 所以公差 故 2.已知已知an为等差数列为等

7、差数列,且且a1+a3=8,a2+a4=12, (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式; (2)记记an的前的前n项和为项和为Sn,若若a1,ak,Sk+2成等比数列成等比数列,求正整数求正整数k的值的值. 1 1 1 1 ( ) () 228 : 1, 2412 2 ( ,2 12212 .) n n ad ad ad ad aandnn 解设数列的公差为由题意知 解得 所以 1 2 1212 22 ()(22 ) 211 22 , 2223 ,560 6 ( )( )() ()()() ()1,6. n n kkkk aa nn n Snn a a Saa S kkkkk kkk 由可

8、得 因成等比数列 所以 从而即 解得或舍去 因此 3.已知等比数列已知等比数列an的公比为的公比为q= (1)若若a3= ,求数列求数列an的前的前n项和项和; 2 311 1 ( ) 11 1:,1, 42 11 1 1 () 2() 22 . 1 3 1 () 2 nn nn aa qqa anS 解 由及得 所以数列的前 项和 1 . 2 1 4 3.已知等比数列已知等比数列an的公比为的公比为q= (2)证明证明:对任意对任意kN+,都有都有ak,ak+2,ak+1 成等差数列成等差数列. 1 . 2 1112 211111 2 2121 21 2:N , 2221 , 1 ,210,

9、20,2 2 ,N , ( ) ()()() () . kkkk kkk kkkkkk kkk k aaaa qa qa qa qqq qqqaaaaaa ka aa 证明 对任意的 由得故即 所以 对任意的都有成等差数列 4.已知等差数列已知等差数列an的公差的公差d=1,前前n项和为项和为Sn. (1)若若1,a1,a3成等比数列成等比数列,求求a1; (2)若若S5a1a9,求求a1的取值范围的取值范围. 13 22 111111 : 11,1, 1 ( ) ()2 ,20,12. n ada a aaaaaa 解因为数列的公差且成等比数列 所以即解得或 519 22 111111 21

10、, 5108 ;3100 ( ) ,52. n adSa a aaaaaa 因为数列的公差且 所以即解得 5.在公差为在公差为d的等差数列的等差数列an中中,已知已知a1=10,且且a1,2a2+2,5a3成等比成等比 数列数列. (1)求求d,an; 222 21311 22 : 1: 225415021125 5 121221252 ( ) ()()()()( 534041. 4,46 1,11 ) . n n aa aadaddd ddddddd dan dan 解由已知得到 或 当时 当时 (2)若若d1,都存在都存在mN*,使得使得a1,an,am成等比数列成等比数列. 2 3 2

11、n nn S 2 11 11 3 : 1,1.( ) 2 2,32,1,1, 32. n nnn nn nn SaS naSSnna aan 解由得 当时检验当时也符合上式 所以数列的通项公式为 2 11 22 * * 1 2:,( ) ()321 32 ,342. N , 1,N , ( . ) nmnm nm a a aaa a nmmnn mmn nma a a 证明 要使得成等比数列 只需要 即即 而此时且 所以对任意的都存在使得成等比数列 14.正项数列正项数列an满足满足 (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式an; (2)令令 ,求数列求数列bn的前的前n项和项和Tn. 2

12、(21)20. nn anan 2 ( )()()(: 12120210 ,. ) 2 nnnn nn ananan a aan 解由得 由于是正项数列 则 1 (1) n n b na ( )( )() 111 11 212 , (1)(1)(2 )21 11111111 11. 222312122 ()() nn n n anb nannnn n T nnnn 由知故 15.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和项和Sn满足满足S3=0,S5=-5. (1)求求an的通项公式的通项公式; 1 1 1 1 (1) : 1,. 2 330 1,1. 5105 2 ( ) . nn nn n

13、 n adSnad ad ad ad aan 解设的公差为则 由已知可得解得 所以的通项公式为 15.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和项和Sn满足满足S3=0,S5=-5. (2)求数列求数列 的前的前n项和项和. 2121 1 nn aa 2121 2121 1 ( )( )() 1 1111 21, (32 )(1 2 )2 2321 1111111 . 21 11323211 () 2 nn nn nnnn n n a nn a aa n 由知 从而数列的前 项和为 16.已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn,且且Sn=2n2+n,nN ,数列 数列bn满足满足 an

14、=4log2bn+3,nN . (1)求求an,bn; 2 11 22 1 * 1 1* 2 : 12, 1,3; 2,221141. 1,41341, 4log3 ( ) ()( 2, ,N . ) n nnn n n nnn Snn naS naSSnnnnn nnaannN abbn 解由得 当时 当时 又当时 由得 16.已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn,且且Sn=2n2+n,nN ,数列 数列bn满足满足 an=4log2bn+3,nN . (2)求数列求数列anbn的前的前n项和项和Tn. 1* 21 23 21 * 2141 2,N . 37 2 11 241 2,

15、 23 ( 27 211 241 2 , 241 234 22245 25, 45 25 )( )() () () ()() )N () ,( n nn n n n n nnn nn n n a bnn Tn Tn TTnn Tnn 由知 所以 即 17.已知数列已知数列an中中,a1=1,前前n项和项和 (1)求求a2,a3; 1 221221 331233123 23 2 : 11 3 22 33, 3 322 46. 33 ,3,6. ( ) nn n aSa Saaaaa Saaaaaaaa a a 解由与 可得 故所求的值分别为 2 . 3 nn n Sa 17.已知数列已知数列an

16、中中,a1=1,前前n项和项和 (2)求求an的通项公式的通项公式. 11 11 11 1 2 12 1 121 22 1 ( ) 21 22, 33 21 33 21111 33331 13 1 1212 1 1, 2 1 2 nnnn nnnn n nnnnn n nn n nn nn nn nSaSa nn SSaa annnnn aaaaa an aaannnn aa aaann nn aaa 当时 , 可得 即 故有 而所以的通项公式为. 2 . 3 nn n Sa 18.已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=kcn-k(其中其中c,k为常数为常数),且且a2=4,a6=8a3

17、. (1)求求an; 1 1 6532 63 65 3 6 32 3 21 2 11 * : 11, :, 8,2. 4,4,2, 21 , ( )() ()() () () ( 1,2 2N . ) nn nnn n n n n naSSk cc ak ccak cc acc cc acc ak cck annaS an 解当时 则 即解得 当时 综上所述 18.已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=kcn-k(其中其中c,k为常数为常数),且且a2=4,a6=8a3. (2)求数列求数列nan的前的前n项和项和Tn. 23 2341 231 1 ( ) ( 22 , 22 23 22

18、 21 22 23 21 22 22222 ) ()21 2. n n n n nn n nn n n n nan Tn Tnn Tn Tn 由于 则 得 所以 【考点三考点三】 简单的递推数列简单的递推数列 类型类型1:an+1=an+f(n)这类递推数列可通过累加法而求得其通项这类递推数列可通过累加法而求得其通项 公式公式,解题的关键是把递推关系式解题的关键是把递推关系式an+1=an+f(n)转化为转化为an+1-an=f(n), 进而通过进而通过:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,求出数列求出数列 an的通项公式的通项公式. 类型类

19、型2:an+1=f(n)an这类递推数列可通过累乘法而求得其通项这类递推数列可通过累乘法而求得其通项 公式公式,解题的关键是把递推关系式解题的关键是把递推关系式an+1=f(n)an转化为转化为 =f(n),进进 而通过而通过: .求出数列求出数列an的通项公式的通项公式. 类型类型3:an+1=pan+q这类数列通常可转化为这类数列通常可转化为an+1+x=p(an+x),其其 中中:x= (待定系数法待定系数法);或消去常数转化为二阶递推式或消去常数转化为二阶递推式 an+2-an+1=p(an+1-an). 1n n a a 132 1 1221 . nn n nn aaaa aa aa

20、aa 1 q p 19.已知数列已知数列an满足满足an+1=an+2n+1,a1=1,求数列求数列an的通项公式的通项公式. 111 112211 2 :21,21,1 2 ()()() (12353 1 1 2 )() ()1 1 2 . nnnn nnnnn aanaana aaaaaaaa nn nn n 解 由得又 20.已知数列已知数列an满足满足a1= ,an+1= an,求求an. 2 3 1 1 132 1 1221 : 11 1232 1 2 123 2 3 2 12 . 33 n nn n nn n nn ann aa nan aaaannn aa aaaannn nn

21、解 由得 1 n n 21.已知数列已知数列an中中,a1=1,an+1=2an+3,求求an. 11 1 1 11 :23,323 334,2. :34 2, 4 2323 () . nnnn n n n nn n aaaa aa a a 解 由得 所以数列是以为首项 以 为公比的等比数列 由等比数列的通项公式得 故 22.数列数列an满足满足a1=1,an= an-1+1(n2),求数列求数列an 的通项公式的通项公式. 11 1 1 1 1 11 :1:222 22 1 221, 2 11 :21, 22 1 () 2 ) ) . ( 2 ( nnnn n n n n n n aaaan

22、 aa a a 解 由得 故数列是以为首项 以为公比的等比数列 由等比数列的通项公式得 即 1 2 23.数列数列an满足满足a1=1,3an+1+an-7=0,求数列求数列an的通项公式的通项公式. 1 11 1 1 1 :370 17717 :, 33434 77731 1, 44443 731 :, 44 () ( 3 731 . 44 ) ( 3 ) nn nnnn n n n n n aa aaaa aa a a 解 由 得即 故数列是以为首项 以为公比的等比数列 由等比数列的通项公式得 即 24.已知在数列已知在数列an中中,a1=3,an+1=4an-3. (1)求证求证:数列数列an-1是等比数列是等比数列,并求出数列并求出数列an的通项公式的通项公式; (2)设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn,求求Sn. 1 1 1 43 1 : 14, 1 12,4, 12 4;2 41. 1 ( ) 1 n n n nn nn n n a a a a a aa 解 所以数列是以 为首项 以 为公比的等比数列 则所以 21 ( ) () 222 42 42 4 2 (1 4 )2 41. 1 43 n n n n Sn nn