《2019艺考生文化课冲刺点金-数学课件：第三章 专题一 三角函数与解三角形 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019艺考生文化课冲刺点金-数学课件：第三章 专题一 三角函数与解三角形 .pdf（44页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题一专题一 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 在近几年新课标全国卷文科数学中在近几年新课标全国卷文科数学中,三角函数与解三角形大三角函数与解三角形大 题与数列出现在第题与数列出现在第17题的位置题的位置,两者交替出现两者交替出现,也就是说这二者属也就是说这二者属 于二选其一大题于二选其一大题.三角恒等变换、三角函数与解三角形是高考考三角恒等变换、三角函数与解三角形是高考考 查的重点内容之一查的重点内容之一,该部分的命题主要围绕以下四点展开该部分的命题主要围绕以下四点展开:第一点第一点 是围绕三角恒等变换展开是围绕三角恒等变换展开,考查使用三角函数的和、差公式考查使用三角函数的和、差公式,
2、倍角倍角 公式公式,诱导公式诱导公式,同角三角函数关系等公式进行变换求值等问题同角三角函数关系等公式进行变换求值等问题, 试题难度不大试题难度不大;第二点是围绕三角函数的图象展开第二点是围绕三角函数的图象展开,考查根据三角考查根据三角 函数图象求函数解析式、根据函数解析式判断函数图象、三角函数图象求函数解析式、根据函数解析式判断函数图象、三角 函数图象与性质的综合等问题函数图象与性质的综合等问题;第三点是围绕三角函数性质展开第三点是围绕三角函数性质展开, 考查根据三角函数解析式研究函数性质考查根据三角函数解析式研究函数性质,根据三角函数性质推断根据三角函数性质推断 函数解析式中的参数等问题函数
3、解析式中的参数等问题;第四点是围绕正弦定理、余弦定理第四点是围绕正弦定理、余弦定理 解三角形展开解三角形展开,目的是考查使用这两个定理解一般的斜三角形目的是考查使用这两个定理解一般的斜三角形. 历年高考命题分析历年高考命题分析 年份年份 试卷类型试卷类型 20142015201620172018 新课标新课标卷卷12 新课标新课标卷卷1212 新课标新课标卷卷 【近近5年新课标卷考点统计年新课标卷考点统计】 典例解析典例解析 【例例1】 已知已知a、b、c分别为分别为ABC的内角的内角A、B、C的对边的对边.如果如果: asinA+csinC- asinC=bsinB. (1)求求B; 2 2
4、22 222 1:2. 2 2cos .cos, 2 45 . ( ) , acacb bacacBB BABCB 【解析】 由已知条件及正弦定理得 由余弦定理得故 又 为的内角因此 【例例1】 已知已知a、b、c分别为分别为ABC的内角的内角A、B、C的对边的对边.如果如果: asinA+csinC- asinC=bsinB. (2)A=75,b=2,求求a,c. 2 26 2 sinsin 3045sin30 cos45cos30 sin45 4 sin26 :13, s ( )( in2 :180 ,60 , sinsin60 :26. sinsin ) 45 A A ab B ABCC
5、 C cb B 故由正弦定理可得 又由得 于是有 【例例2】 如图如图,一山顶有一信号塔一山顶有一信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂所在的直线与地平面垂 直直),在山脚在山脚A处测得塔尖处测得塔尖C的仰角为的仰角为,沿倾斜角为沿倾斜角为的山坡向上前的山坡向上前 进进l米后到达米后到达B处处,测得测得C的仰角为的仰角为. (1)求求BC的长的长; 1, , sin( ( ) () ) :. sin() ABCCAB ABCACB BCl 【解析】 在中 由正弦定理得 【例例2】 如图如图,一山顶有一信号塔一山顶有一信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂所在的直线与地平面垂 直直),在山脚在山脚A
6、处测得塔尖处测得塔尖C的仰角为的仰角为,沿倾斜角为沿倾斜角为的山坡向上前的山坡向上前 进进l米后到达米后到达B处处,测得测得C的仰角为的仰角为. (2)若若l=24,=45,=75,=30, 求信号塔求信号塔CD的高度的高度. sin() 21,122 , sin() :9015 ,45 ,120 , sin45 ,248 3. sin120 ( )( )( 6)BCl BCDCBDBDC BCDCDBC 由及条件知 因为 所以在中由正弦定理得 【例例3】 在在ABC中中,角角A、B、C所对的边为所对的边为a、b、c,角角A为锐角为锐角, 若若且且mn. (1)求求cosA的大小的大小; 63
7、 (sin,),(cos,) 2323 AA mn 222 22 2 10sincos,sin 2233 1 sincos1,cos 9 1 0,cos. 2 ) ( 3 ( ) AA mnm nA AAA AA 【解析】 由可得即 【例例3】 在在ABC中中,角角A、B、C所对的边为所对的边为a、b、c,角角A为锐角为锐角, 若若且且mn. (2)若若a=1,b+c=2,求求ABC的面积的面积S. 63 (sin,),(cos,) 2323 AA mn 222 22222 1 2cos1cos,( )( ) (),( 23 339 288 13 2 sin. 28 ) bca AA bc b
8、cbcabcbca SbcA 由知 【例例4】 已知已知f(x)=2 sinxcosx+2cos2x,在在ABC中中,角角A、B、C 所对的边分别为所对的边分别为a、b、c,且满足且满足b2+c2-a2+bc=0 (1)求角求角A的值的值; (2)求求f(A)的值的值; 3 222 222 1 10,cos 22 2 0, ( ) (, 3 ). bca bcabcA bc AA 【解析】 又 2 2:2 3sincos2cos3sin2cos21 2sin 21 6 22 2sin ( )( ) () 211. 33 () 6 )() f xxxxxx x f Af 由题意得 所以 【例例4
9、】 已知已知f(x)=2 sinxcosx+2cos2x,在在ABC中中,角角A、B、C 所对的边分别为所对的边分别为a、b、c,且满足且满足b2+c2-a2+bc=0 (3)求求f(B)的取值范围的取值范围. 3 2 31, 33 5 :0,2, 3666 1 ( sin 21 26 22sin 21323, 6 2 )( ) () ()( ) ( )( ,3 . AABCBC BB B Bf B f B 由知又 于是有 从而有 即 所以的取值范围是 1.已知已知a,b,c分别为分别为ABC三个内角三个内角A,B,C的对边的对边,c= asinC-ccosA. (1)求角求角A的值的值; 考
10、点训练考点训练 : 13 sincos 3sinsinsincossin 1 sin0,3sincos1,sin, 62 0,. 3 ( ) () caCcA ACCAC CAAA AA 解由及正弦定理得 由于有所以 又故 3 1.已知已知a,b,c分别为分别为ABC三个内角三个内角A,B,C的对边的对边,c= asinC-ccosA. (2)若若a=2,ABC的面积为的面积为 ,求求b,c. 22222 1 2sin3,4, 2 2cos ,2 ( ) 8,. ABCSbcAbc abcbcAcbbc 的面积故 而故解得 3 3 2.四边形四边形ABCD的内角的内角A与与C互补互补,AB=1
11、,BC=3,CD=DA=2. (1)求角求角C和和BD; (2)求四边形求四边形ABCD的面积的面积. 222 222 : 1 2cos13 12cos, 2cos54cos . 1 ,cos,6,7. 2 ( ) 0 BDBCCDBC CDCC BDABDAAB DAAC CCBD 解由题设及余弦定理得 由 得故 11 2sinsin 22 11 1 23 2 s ( ) () in602 3. 22 ABCDSAB DAABC CDC 四边形的面积 3.ABC中中,角角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,已知已知a=3,cosA= , B=A+ . (1)求求b的值的值; 6
12、 3 2 3 : 1,sin1 cos. 3 6 ,sinsincos. 223 6 3 sin 3 ,3 2. sin3 ) ( 3 ( ) ABCAA BABAA aB b A 解在中由题意知 又因为所以 由正弦定理可得 2 3.ABC中中,角角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,已知已知a=3,cosA= , B=A+ . (2)求求ABC的面积的面积. 6 3 3 2coscossin. 223 , sinsin sinsincoscossin 33661 . 33333 1113 2 sin ( )() () () 3 3 2. 2 () ( 3 ) 22 BABAA
13、ABCCAB CABABABAB ABCSabC 由得 由得 所以 因此的面积 2 4.在在ABC中中,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,且且a+b+c=8. (1)若若a=2,b= ,求求cosC的值的值; 222 222 7 : 18. 2 57 2( )( ) 1 22 cos ( )( . 5 25 2 2 2 )cab abc C ab 解由题意可知 由余弦定理得 5 2 4.在在ABC中中,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,且且a+b+c=8. (2)若若sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC,且且ABC的面积的面积S=
14、sinC,求求a 和和b的值的值. 22 2sincossincos2sin sinsin2sin, sinsincossinsincos4sin. sincoscossinsinsin, sinsin3sin. 3 .8,6. ( ) 22 1 cos1 cos 22 () 19 22 sin ABC ABC AABBBAC ABABABC ABC abcabcab Sa A C B B b A 由可得 化简得 因为 所以 由正弦定理可知又所以 由于 2 sin,9,690, 3,3. Cabaa ab 所以从而 解得所以 2 B 2 A9 2 5.在在ABC中中,内角内角A,B,C所对的边
15、分别为所对的边分别为a,b,c.已知已知 (1)求求cosA的值的值; 222222 2 : 1,sin6sin,6 . sinsin 6 ,2 . 6 646 cos. 242 6 ( ) bc ABCBCbc BC acbac bcaccc A bcc 解在中由及可得 又由有 所以 6 , 6 acb sin6sin.BC 5.在在ABC中中,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c.已知已知 (2)求求cos(2A- )的值的值. 2 610 2,cos,sin. 44 115 cos22cos1,sin22sincos. 44 153 cos 2cos2cossin2s
16、in. 6 ) ( 68 ( ) 6 ABCAA AAAAA AAA 在中由可得 于是 所以 6 , 6 acb 6 sin6sin.BC 6.在在ABC中中,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c.已知已知 (1)求角求角C的大小的大小; : 121 cos4sinsin22, 2coscos2sinsin2, 2 cos, ( )() () 2 3 ,. 44 ABAB ABAB AB ABABCABC 解由已知得 化简得 故 因为 、 为的内角 所以从而 2 4sin4sinsin22 2 AB AB 6.在在ABC中中,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a
17、,b,c.已知已知 (2)已知已知b=4,ABC的面积为的面积为6,求边长求边长c的值的值. 222 1 2sin,6,4,3 2. 24 2 ( ) cos,10. ABCABC SabCSbCa cababCc 因为由得 由余弦定理得 2 4sin4sinsin22 2 AB AB 7.设设ABC的内角的内角A,B,C所对边的长分别是所对边的长分别是a,b,c,且且b=3,c=1, ABC的面积为的面积为 .求求cosA与与a的值的值. 222 22222 22222 12 2 :,3 1 sin2,sin. 23 81 sincos1,cos1 sin1. 93 1 cos, 3 1 2
18、cos312 1 38,2 2. 3 1 cos, 3 1 2cos31()2 1 312,2 3. 3 AA AAAA A abcbcAa A abcbcAa 解 由三角形面积公式 得故 因为所以 当时 由余弦定理得 所以 当时 由余弦定理得 所以 2 8.在在ABC中中,tanA=2,tanB=3. (1)求角求角C的值的值; (2)设设AB= ,求求AC. : 1,tantan t ( )( an2,tan3,tan1,. 4 )ABCCAB ABCC 解 2 22 sin 2tan33sin3cos , cos 3 10 sincos1,sin. 10 3 1 ( 0 ,sin. si
19、n ) 5 B BBB B BBBB AB ABCACB C 因为 而且 为锐角 求得 所以在中由正弦定理得 9.ABC中中D是是BC上的点上的点,AD平分平分BAC,BD=2DC. (1)求求 (2)若若BAC=60,求求B. : 1, sinsinsinsin s ( in1 ,2,. sin2 ) ADBDADDC BBADCCAD BDC ADBAC BDDC CBD 解由正弦定理得 因为平分所以 sin ; sin B C 2180,60 , 31 sinsincossin. 22 3 12sinsi ( n,tan,30 . 3 )() () ( ) CBACBBAC CBACBB
20、B BCBB 因为 所以 由知所以 10.在在ABC中中,角角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且满足且满足a2-b2-c2+ bc=0, 2bsinA=a,BC边上中线边上中线AM的长为的长为 (1)求角求角A和角和角B的大小的大小; 222 222222 222 : 130 3,3, 3 cos,. 2 ( ) 26 1 2 sin,sin 26 abcbc abcbcbcabc bca AA bc bAaBB 解由 得即 由正弦定理及得故 3 14. 10.在在ABC中中,角角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且满足且满足a2-b2-c2+ bc=0, 2bsin
21、A=a,BC边上中线边上中线AM的长为的长为 (2)求求ABC的面积的面积. 2 222 2, 1 2,2 2, 422 1 ( ) () 3 2 22 22 3. 1 22 (4) ABC ACBCx xx AMxxx S 设 由余弦定理得解得 故 3 14. 11.设设ABC的内角的内角,A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. (1)求角求角B的值的值; 222 222 : 1,. 1 ,cos, 22 ,120 . ( )()()abc abcacacbac acb BBABC ac B 解因为所以 由余弦定理得且 为的内角 因此 11.设设A
22、BC的内角的内角,A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. (2)若若sinAsinC=,求求C. 31 4 2160 ,coscoscossinsin coscossinsin2sinsin 1313 cos2sinsin2 ( )( )() (), 242 3030 , ,1545 . ACACACAC ACACAC ACAC ACAC CC 由知所以 故或 因此或 12.在在ABC中中,角角A,B,C对应的边分别是对应的边分别是a,b,c.已知已知 cos2A-3cos(B+C)=1. (1)求角求角A的大小的大小; 2 : 1cos23cos1
23、,2cos3cos20, 1 2cos1 cos20,c ( )() ()()oscos2. 2 0, () . 3 ABCAA AAAA AA 解由得 即解得或舍去 因为所以 12.在在ABC中中,角角A,B,C对应的边分别是对应的边分别是a,b,c.已知已知 cos2A-3cos(B+C)=1. (2)若若ABC的面积的面积S=5 ,b=5,求求sinBsinC的值的值.3 222 2 2 1133 2sin5 3,20. 2224 5,4. 2cos25 162021,21. 2035 sinsinsinsins ( in. 2147 )SbcAbcbcbc bc abcbcAa bcb
24、c BCAAA aaa 由得 又知 由余弦定理得故 又由正弦定理得 13.在锐角在锐角ABC中中,内角内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c且且2asinB= b. (1)求角求角A的大小的大小; (2)若若a=6,b+c=8,求求ABC的面积的面积. : 1:2sinsin3sin,0, 2 3 sin0, ( sin,0,; 223 )() () ABBB BAAA 解由已知及正弦定理得到且 且 3 222 1 21cos,: 2 128 36 ( )( 233664336, 23 12837 3. 2323 ) () ABC A bcbcbcbcbcbc S 由知由已知条件及余
25、弦定理得到 所以 14.已知已知a,b,c分别是分别是ABC内角内角A,B,C的对边的对边,sin2B=2sinAsinC. (1)若若a=b,求求cosB; (2)若若B=90,且且a= ,求求ABC的面积的面积. 2 222 : 12.,2 ,2 , 1 cos. 4 ( ) 2 bacabbc ac acb B ac 解由题设及正弦定理可得又可得 由余弦定理可得 2 2 22222 212.90 , .2,2. ( )( ) 1. bacB acbacacca ABC 由知因为 由勾股定理得故得 所以的面积为 15.如图如图,某人为了测量河对岸不能到达的两点某人为了测量河对岸不能到达的两
26、点A,B之间的距离之间的距离,他他 在自己所在的一侧选取三个点在自己所在的一侧选取三个点C,D,E,其中从其中从C点可以观察到点点可以观察到点 A,B;从从D点可以观察到点点可以观察到点A,C;从从E点可以观察到点点可以观察到点B,C.并测量得并测量得 到数据到数据:ACD=90,ADC=60,ACB=15,BCE=105, CEB=45,CD=CE=100m. (1)求求CDE的面积的面积; (2)求求A,B之间的距离之间的距离. 2 : 1,3609015105150 . 11 sin150100 100 sin302500 m . 22 ( ) () CDE CDEDCE CDE SCD
27、 CE 解在中 所以的面积为 222 2.Rt, tan100 tan60100 m . ,1801801054530 . , sinsin sin100sin45 100 2 m . ( ) () ( sinsin30 ,2cos ) ABACD ACCDADC BCECBEBCECEB BCCE CEBCBE CECEB BC CBE ABCABACBCAC BC 连结在中 在中 由正弦定理得 所以 在中由余弦定理得 222 , coscos15cos 6045cos60 cos45sin60 sin45 123262 () ()() ( , 22224 62 100 3100 22 10
28、0 3 100 2 4 10000 23 . 100 23 m ,100 2m ) (3). ACB ACB AB ABA B 又 所以 所以所以之间的距离为 16.在在ABC中中,内角内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且且ac.已知已知 ,b=3.求求: (1)a和和c的值的值; 222 22 22 1 : 12,cos2,cos,6. 3 ,2cos ,3, 92 213. 623 ,. 3213 3 ( ) ,2. BA BCc aBBac acbacBb ac acaa ac ccac acac 解由得又所以 由余弦定理 得又 所以 联立因为 、 均为正数得或 因为所以
29、 1 cos 3 B 2,BA BC 16.在在ABC中中,内角内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且且ac.已知已知 ,b=3.求求: (2)cos(B-C)的值的值. 22 22 12 2 2,sin1 cos1 ( ). 33 22 24 2 ,sinsin. 339 4 27 ,cos1 sin1 (). 99 172 24 223 coscoscossinsin. 39392 ( ( 7 ) ) ABCBB c CB b abcCCC BCBCBC 在中 由正弦定理 得 因为所以 为锐角因此 于是 1 cos 3 B 2,BA BC 17.在在ABC中中,角角A,B,C
30、的对边分别为的对边分别为a,b,c,且且 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)= (1)求求sinA的值的值; 3 : 1coscossinsin 5 3 coscossinsin, 5 33 cos,cos, 55 4 0 ( )()()() () ,s ) . 5 ( ( in ) ABBABAC ABBABB ABBA AA 解由 得 则即 又则 3 . 5 17.在在ABC中中,角角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且且 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)= (2)若若a=4 ,b=5,求向量求向量 在在 方向上的投影方向上的投
31、影. 222 sin2 2,sin, sinsin2 ,. 4 3 ,4 252 5, 5 17, 2 c ( ) ()() () |os. 2 | abbA B ABa abABB cc cc BABCBAB 由正弦定理 有所以 由题知则故 根据余弦定理 有 解得或负值舍去 向量在方向上的投影为 2 3 . 5 BA BC 18.已知向量已知向量m=( sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),设函数设函数f(x)=mn, xR. (1)求求f(x)的最小正周期与最大值的最小正周期与最大值; 2 : 13sin222cos2sin 23 6 2 ( ) ( )() (.( ),5
32、2 ) f xm nxxx f xTf x 解 的最小正周期为的最大值为 3 18.已知向量已知向量m=( sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),设函数设函数f(x)=mn, xR. (2)在在ABC中中,a,b,c分别是角分别是角A,B,C的对边的对边,若若f(A)=4,b=1,ABC 的面积为的面积为 ,求求a的值的值. 222 1 24,2sin 234,sin 2, 662 5 0,2, 663 1333 sin,2 2242 1 ,2cos ( 142 1 2 ) 3 2 . ( )( 3 )f AAA AAA bcAcc abcbcA a 由得即 又即 由余弦定理得
33、3 3 2 19.设设ABC的内角的内角A、B、C的对边长分别为的对边长分别为a、b、c,设设S为为 ABC的面积的面积,满足满足S= (a2+c2-b2). (1)求角求角B的值的值; : 1: 13 sin2cos , 24 tan3,0 ( ) ( ) ,. 3 acBacB BBB 解由已知及三角形面积公式和余弦定理得 又所以 3 4 19.设设ABC的内角的内角A、B、C的对边长分别为的对边长分别为a、b、c,设设S为为 ABC的面积的面积,满足满足S= (a2+c2-b2). (2)若若b= ,设设A=x,y=( -1)a+2c,求函数求函数y=f(x)的解析式和最大值的解析式和最
34、大值. 2 21,0,00. 33 3 ,sinsin2sin , sin sin 3 2 ( )( ) () ( 3)( 3)() ( sin2sin sin3 2 1221 sin4sin 3 2 2 3sin2 3cos2 6si)()n0 43 , 424 a BABCABCACA b aAxx B b cCx B ycxx xxxx xxy 由知的内角和又得 由正弦定理 知 所以 当即时取得最大值2 6. 3 4 33 20.已知函数已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,00,0,0),xR的最大值是的最大值是1, 最小正周期是最小正周期是2,其图象经过点其图象经过点M(0,1). (2)设设A,B,C为为ABC的三个内角的三个内角,且且f(A)= ,f(B)= ,求求f(C)的值的值. 22 35 21cos ,cos,cos. 513 412 ,0, ,sin1 cos,sin1 cos. 513 , , ( )( ) , coscos cos. coscoscoscossinsin 35412 5 ( )( )( ) () ( 1 ) 3 () ( )()() ( 5 f xxf AAf BB A BAABB A B CABC CABAB f CCABABAB 由得所以 因为所以 因为为的三个内角 所以 所以 3 3 ) 3 . 165 3 5 5 13