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1、第2课时 秦九韶算法与进位制 第一章 1.3 算法案例 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解秦九韶算法. 2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制. 3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 秦九韶算法 1.求n次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法. 2.秦九韶算法的一般步骤： 把一个n次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式： (anxan1)xan2)xa1)xa0，求多项式的值时，首先计算_ 一次
2、多项式的值，即v1 ，然后由内向外逐层计算一次多项式 的值，即v2 ，v3 ，vn ，这样，求n次 多项式f(x)的值就转化为求 的值. 最内层括 n个一次多项式 号内 anxan1 v1xan2v2xan3vn1xa0 若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在 一起的形式anan1a1a0(k)(an，an1，a1，a0N，0ank,0an1，a1， a0k). 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制 数341(6)，十进制数一般不标注基数. 知识点二 进位制 思考 59分59秒再过1秒是多少时间？ 答案 1小时. 上述计时
3、法遵循的是满60进一，称为六十进制.类比给出k进制的概念.“满k进 一”就是k进制，k进制的基数是k. 1.一般地，将k进制数anan1a1a0(k)转化为十进制： anan1a1a0(k)anknan1kn1a1k1a0k0. 2.把十进制的数化为k进制的数的方法是： 把十进制数除以k，余数为k进制的右数第一位数.把商再除以k，余数为k进制右 数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法. 知识点三 进制间的转化 1.二进制数中可以出现数字3.( ) 2.把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法.( ) 3.不同进制数之间可以相互转化.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAO
4、BIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 题型一 秦九韶算法的应用 例1 用秦九韶算法求多项式f(x)x55x410x310x25x1当x2时的值. 解 f(x)x55x410x310x25x1 (x5)x10)x10)x5)x1. 当x2时，有v01； v1v0xa41(2)53； v2v1xa33(2)104； v3v2xa24(2)102； v4v3xa12(2)51； v5v4xa01(2)11. 故f(2)1. 反思感悟 (1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一 步一步地做乘法和加法即
5、可.这样比直接将x2代入原式大大减少了计算量. 若用计算机计算，则可提高运算效率. (2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0xn. 跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)x612x560x4160x3240x2 192x64当x2时的值. 解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)(x12)x60)x160)x240)x192)x64. 由内向外依次计算一次多项式当x2时的值： v01； v1121210； v21026040； v340216080； v480224080； v580219232； v6322640. 所以当x2时，多项式的值为0. 题型二 k
6、进制化为十进制 解 110 011(2)12512402302212112032162151. 例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？ 反思感悟 将k进制数anan1a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数anan1 a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结 果即为对应的十进制数. 跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数. 解 1 110 011(2)126125124023022121120115. (2)将8进制数314 706(8)化为十进制数. 解 314 706(8)385184483782081680
7、104 902. 所以，化为十进制数是104 902. 题型三 十进制化k进制 解 算式如图， 例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数. 则45813 022(4)2 042(6). 反思感悟 十进制数化为k进制数的思路为 跟踪训练3 把89化为二进制数. 解 算式如图， 则891 011 001(2). 典例 用秦九韶算法求多项式f(x)x50.11x30.15x0.04当x0.3时的值. 核心素养之数学运算 HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUANHEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN 秦九韶算法求多项式的值 解 将f(x)写为f(x)(x0)x0
8、.11)x0)x0.15)x0.04. 按从内到外的顺序，依次计算多项式的值： v01， v110.300.3， v20.30.30.110.2， v30.20.300.06， v40.060.30.150.132， v50.1320.30.040.079 6. 当x0.3时，f(x)的值为0.079 6. 素养评析 (1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必 须补上系数为0的相应项.这是本题的易错点. (2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是 数学核心素养之数学运算的具体体现. 3达标检测 PART THREE 1.已知175(r)125(10)，
9、则r的值为 A.1 B.5 C.3 D.8 解析 1r27r15r0125， r27r1200， r8或r15(舍去)， r8，故选D. 12345 2.用秦九韶算法计算多项式f(x)6x65x54x43x32x2x7在x0.4时的 值时，需做加法和乘法的次数的和为 A.10 B.9 C.12 D.8 解析 f(x)(6x5)x4)x3)x2)x1)x7， 做加法6次，乘法6次，6612(次)，故选C. 12345 3.用秦九韶算法求多项式f(x)x42x33x2x1当x2时的值时，第一次运 算的是 A.12 B.24 C.21 D.122 解析 因为f(x)(x2)x3)x1)x1，据由内到
10、外的运算规律可知先运算 的是122. 12345 4.下列各数中，最小的数是 A.85(9) B.210(6) C.1 000(4) D.111 111(2) 解析 85(9)89577， 210(6)26216078， 1 000(4)14364， 111 111(2)12512412312212163. 故最小的是63. 12345 5.(1)将二进制数 (2)转化成十进制数； 161 1111 个 解 (2)121512141211202161. 161 1111 个 12345 (2)将53(8)转化为二进制数. 解 先将八进制数53(8)转化为十进制数： 53(8)58138043； 再将十进制数43转化为二进制数的算法如图. 所以53(8)101 011(2). 12345 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘 积之和，其次按照十进制的运算规则计算和. 2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤： 3.用秦九韶算法求多项式f(x)当xx0时的值的思路为(1)改写；(2)计算 (3)结论f(x0)vn.