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1、第1课时 基本不等式 第三章 3.4 基本不等式： 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 算术平均数与几何平均数 算术几何 几何解释 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb， 过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB. 则PO .易证RtAPQRtPBQ，那么PQ2AQQB，即PQ . 知识点二 基本不等式常见推论 1.对于任意a，bR
2、，a2b22ab.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2.nN*时，n .( ) 3.x0时，x 2.( ) 2题型探究 PART TWO 题型一 常见推论的证明 例1 证明不等式a2b22ab(a，bR). 证明 a2b22ab(ab)20， a2b22ab. 引申探究1 方法二 由例1知，a2b22ab. 引申探究2 证明 由例1，得a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab， 当且仅当ab时，取等号. 反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识. 题型二 用基本不等式证
3、明不等式 例2 已知x，y都是正数. 证明 x，y都是正数， 当且仅当xy时，等号成立. (2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3. 证明 x，y都是正数， (xy)(x2y2)(x3y3) 即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3， 当且仅当xy时，等号成立. 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定 理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看 “可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： 多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；同向不等式相加是不等 式证明中的一种常用方法
4、，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本 不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc. 证明 a，b，c都是正实数， 即(ab)(bc)(ca)8abc， 当且仅当abc时，等号成立. 题型三 用基本不等式比较大小 例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的 增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 解析 第二年产量为AAaA(1a)， 第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b). 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2. 依题意有A(1x)2A(1a)(1b)， a0，b0，x0， 反思感悟 基本不等式 一端为和，一端为积，使用基本不等式比 较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和. A.R1 B.lg 9lg 111 C.lg 9lg 110，lg 110， 即lg 9lg 110，b0，给出下列不等式： 其中恒成立的是 .(填序号) 12345 当a3时，a296a，故不恒成立. 综上，恒成立的是. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项 或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.