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1、第2课时 等差数列前n项和的性质 第二章 2.3 等差数列的前n项和 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.会利用等差数列性质简化求和运算. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 等差数列an的前n项和Sn的性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的 等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(nN*)，则S2nn(anan1)，S偶S奇nd， (S奇0)； 若等差数列的项数为2n1(nN*)，则S2n1(2n1)an(an是数列的 中间
2、项)，S奇S偶an， (S奇0) 性质3an为等差数列 为等差数列 思考 若an是公差为d的等差数列，那么a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 是否也是等差数列？如果是，公差是多少？ 答案 (a4a5a6)(a1a2a3)(a4a1)(a5a2)(a6a3) 3d3d3d9d， (a7a8a9)(a4a5a6)(a7a4)(a8a5)(a9a6)3d3d3d9d. a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是公差为9d的等差数列. 知识点二 等差数列an的前n项和公式的函数特征 二次 2.等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列an中， 当a10，d0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不
3、等式组 确定. 最小 (2)Sn ，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有_ 值；当d0， 又nN*，当n13时，Sn有最大值169. 方法三 同方法一，求出公差d2.S9S17， a10a11a170. 由等差数列的性质得a13a140. a130，a140，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 来寻找. 运用二次函数求最值. 跟踪训练2 已知等差数列an中，a19，a4a70. (1)求数列an的通项公式； 解 由a19，a4a70， 得a13da16d0，解得d2， ana1(n1)d1
4、12n(nN*). (2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？ 解 方法一 由(1)知，a19，d2， 当n5时，Sn取得最大值. 方法二 由(1)知，a19，d20，n6时，an0，d0)中，andn(a1d)，其图象为ydx (a1d)上的一系列点，要求Sn的最大(小)值，只需找出距x轴最近的两个点； 值，只需找出距对称轴最近的点. 3达标检测 PART THREE 1234 1.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于 A.13 B.35 C.49 D.63 1234 2.已知数列an满足an262n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 A.11或12
5、B.12C.13 D.12或13 解析 an262n，anan12， 数列an为等差数列. 又a124，d2， nN*，当n12或13时，Sn最大. 1234 3.设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于 A.63 B.45 C.36 D.27 解析 a7a8a9S9S6， 而由等差数列的性质可知，S3，S6S3，S9S6构成等差数列， 所以S3(S9S6)2(S6S3)， 即a7a8a9S9S62S63S32363945. 1234 1234 当n2时，anSnSn1 3n104. n1也符合上式， 数列an的通项公式为an3n104(nN*). 即当n34时，
6、an0；当n35时，an0. 1234 (1)当n34时， Tn|a1|a2|an|a1a2an (2)当n35时， Tn|a1|a2|a34|a35|an|(a1a2a34)(a35a36an) 2(a1a2a34)(a1a2an)2S34Sn 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形 2.求等差数列前n项和最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注 意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观. 3.求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分 界点.