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1、3.1.4 概率的加法公式 第三章 3.1 事件与概率 学习目标 1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系. 2.会用互斥事件的概率加法公式求概率. 3.会用对立事件的概率公式求概率. 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 事件的运算 思考 思考 一粒骰子掷一次，记事件C出现的点数为偶数，事件D 出现的点数小于3，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事 件C，D至少有一个发生时呢？ 答案 答案 事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出 的点数为2.事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6. 梳理 梳理 事件的并 一般地，由事件A和B至少有
2、一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发 生)所构成的事件C，称为事件A与B的 (或和).记作C .事件AB 是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合.如图中阴影部分所表示的 就是AB. 并AB 知识点二 互斥与对立的概念 思考 思考 一粒骰子掷一次，事件E出现的点数为3，事件F出现的 点数大于3，事件G出现的点数小于4，则E与F是什么事件？G与 F是什么事件？ 答案答案 E，F不能同时发生， E与F是互斥事件但不是对立事件 G，F不能同时发生，且G，F必有一个发生， G与F既是互斥事件又是对立事件 梳理 梳理 1.互斥事件：不可能 的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容 事件). 2.对立
3、事件：不能同时发生且 的两个事件叫做互为对立事 件.事件A的对立事件记作 .由于A与 是互斥事件，所以P()P(A ) P(A)P( )，又由是必然事件，得到P()1.所以P(A)P( )1， 即P( ) . 同时发生 必有一个发生 1P(A) 知识点三 概率的基本性质 思考 思考 概率的取值范围是什么？为什么？ 答案答案 概率的取值范围是01之间，即0P(A)1； 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在01之间， 因而概率的取值范围也在01之间. 梳理 梳理 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为 . (2) 的概率为1， 的概率为0. (3)互斥事件的概率加法公式 假定A，
4、B是互斥事件，则P(AB) . 一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件 “A1A2An”发生(是指事件A1，A2，An中至少有一个发生) 的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1A2An) . 0,1 不可能事件必然事件 P(A)P(B) P(A1)P(A2)P(An) 思考辨析 判断正误 1.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.( ) 2.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.( ) 3.若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.( ) 题型探究 例例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各10张)中， 任取一张.
5、 (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明 理由. 题型一 事件关系的判断 解答 解 解 (1)是互斥事件，不是对立事件. 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是 不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生， 这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件. (2)既是互斥事件，又是对立事件. 理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色 牌”，两个事件
6、不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是 互斥事件，又是对立事件. (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件. 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与 “抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10， 因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件. 反思与感悟 反思与感悟 (1)不可能事件记作 ，任何事件都包含不可能事件. (2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似， 学习时要注意类比记忆. (3)事件A也包含于事件A，即AA. (4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总 是同时发生或同时不发生
7、. 跟踪训练跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各 对事件中，互斥而不对立的是 A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球 解析答案 解析解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断. A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件； B中两事件是对立事件； C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥 事件； D中两事件是互斥而不对立事件. 题型二 互斥事件的概率加法公式 例例2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分 的概率
8、是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，计 算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率. 解答 解解 分别记小明的考试成绩在90分以上，在8089分，在7079分，在 6069分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加 法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是 P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69. 小明考试及格的概率为P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E) 0.180.510.150.090.93. 反思与感悟 反思与感悟 在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为 简单的、并且概率已知(或
9、较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概 率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、 化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它 的前提条件“彼此互斥”. 跟踪训练跟踪训练2 假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火 库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生 爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率. 解答 解解 因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件 是彼此互斥的. 令A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库， 则P(A)0.025，P(B)P(C)0.1. 令D表示军火库爆炸这个事
10、件，则有DABC， 又因为A，B，C是两两互斥事件， 故所求概率为P(D)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.10.225. 题型三 用互斥、对立事件求概率 解答 解 解 “甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件， (2)甲不输的概率. 解答 解 解 方法一方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件 的并事件， 方法二方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件， 反思与感悟 反思与感悟 (1)只有当A，B互斥时，公式P(AB)P(A)P(B)才成立； 只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)1P(B)才成立. (2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，
11、将所求事件的 概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法 公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A) 1P( )求解. 跟踪训练跟踪训练3 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A“抽到一等品”， 事件B“抽到二等品”，事件C“抽到三等品”.已知P(A)0.65， P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 A.0.20 B.0.39 C.0.35 D.0.90 答案解析 解析解析 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)0.65， 抽到的不是一等品的概率是10.650.35. 达标检测 1.从1,2，9中任取两数，其中
12、： 恰有一个偶数和恰有一个奇数； 至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都 是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数. 在上述各对事件中，是对立事件的是 A. B. C. D. 答案解析 12345 解析解析 从1,2，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三 种互斥事件， 所以只有中的两个事件才是对立事件. 答案解析 2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出 红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7 12345 解析 解析 摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件， 摸出
13、黑球的概率是10.420.280.3，故选C. 解析 解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺 得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生， 即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算， 12345 答案解析 解析 解析 设“射手命中圆面”为事件A，“命中圆环”为事件B，“命 中圆环”为事件C，“不中靶”为事件D， 则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(ABC)P(A)P(B) P(C)0.350.300.250.90. 因为中靶和不中靶是对立事件， 故不命中靶的概率为P(D)1P(ABC)10.900.10. 答案解析 12345 4.如图所示，靶
14、子由一个中心圆面和两个同心圆 环、构成，射手命中，的概率分别 为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是_. 0.10 12345 5.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 0.3,0.2,0.1,0.4. 求：(1)他乘火车或飞机去的概率； (2)他不乘轮船去的概率. 解答 解 解 设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会 为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥. P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7. 解 解 P1P(B)10.20.8. 1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别 又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个 发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可 能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥， 它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥. 2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的 情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式 P(AB)P(A)P(B). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率. 规律与方法