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1、第1课时 余弦定理及其应用 第一章 1.1.2 余弦定理 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 余弦定理 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余 弦 定 理 语言 叙述 三角形中任何一边的平方等于_ _ 公式 表达 a2_， b2_， c2_ 推论 cos A_，cos B_， cos C _ 其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 b2c22bccos A a2
2、c22accos B a2b22abcos C 思考 在a2b2c22bccos A中，若A90，公式会变成什么？ 答案 a2b2c2，即勾股定理. 知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题 (1)已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. (2)已知三角形的三边，求三角形的三个角. 1.在ABC中，已知两边及夹角时，ABC不一定唯一.( ) 2.在ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.( ) 3.在ABC中，若a2b2c20，则角C为直角.( ) 4.在ABC中，若a2b2c20，则角C为钝角.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHE
3、NGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 例1 在ABC中，a1，b2，cos C ，则c ；sin A . 解得c2. 由a1，b2，c2， 题型一 用余弦定理解三角形 命题角度1 已知两边及其夹角 多维探究多维探究 2 反思感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边. 因为ba，所以BA， 所以A为锐角，所以A30. 命题角度2 已知三边 反思感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的推论先求一个角. 跟踪训练2 在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状. 解 因为abcsin Asin Bsin C2
4、45， 所以可令a2k，b4k，c5k(k0). 所以C为钝角， 从而三角形为钝角三角形. 题型二 余弦定理的证明 例3 已知钝角ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，试借助三角函 数定义用a，b，C表示边c. 解 不妨设A为钝角. 如图，作BDCA，交CA延长线于点D. BDasin C，CDacos C. ADCDCAacos Cb. c2BD2AD2 a2sin2C(acos Cb)2 a2sin2Ca2cos2Cb22abcos C a2b22abcos C. 引申探究 注意到 b， a， ， 的夹角为C，恰好可以作为一组 基底，能否用平面向量完成例3? 即c2a2b22abc
5、os C. 反思感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘 探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识， 看有没有相似的地方. 跟踪训练3 用解析几何的两点间距离公式来证明余弦定理. 解 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(c，0)，C(bcos A，bsin A)， BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A， 即a2b2c22bccos A. 同理可证b2c2a22cacos B， c2a2b22abcos C. 典例 在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，则AC边上的中线长 为 . 核
6、心素养之数学运算 HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUANHEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN 合理探究运算思路 7 解析 方法一 由条件知 设中线长为x，由余弦定理，知 所以x7. 所以AC边上的中线长为7. 方法二 设AC中点为M，连接BM(图略). BM7，即AC边上的中线长为7. 素养评析 数学运算素养的一个重要表现就是探究运算思路，探究运算思路 最主要的是弄清楚3个问题：我有什么？我要什么？怎样以我有达到我 要？在本例中，我有三角形三边长.由此可求三角.我要求中线长，由于M为中 点，在ABM中，我有AB，AM，A(两边夹角).由此可求BM，思路贯通.在 3达标检测 PART THREE 12345 解析 abc，C为最小角且C为锐角， 12345 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 12345 解析 设顶角为C，周长为l，因为l5c，所以ab2c， 12345 12345 在ABD中， 有BD2AB2AD22ABADcosBAD， 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股 定理可以看作是余弦定理的特例. 2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角.