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1、专题突破四 数列求和 第二章 数列 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点. 2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点. 3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点. 4.进一步熟悉错位相减法. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 分组分解求和法 总结 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等 差数列和等比数列求和. 知识点二 奇偶并项求和法 思考 求和122232429921002. 答案 122232429921002 (1222)(3242)(9921002)
2、(12)(12)(34)(34)(99100)(99100) (123499100) 5 050. 总结 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项 结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数 还是偶数不确定时，往往需要讨论. 知识点三 裂项相消求和法 总结 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法 一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项.裂项相消求和常用公式： 知识点四 错位相减求和法 思考 记bnn2n，求数列bn的前n项和Sn. 答案 Sn12222323n2n， 2Sn122223324(n1)2nn2n1， ，得Sn212223
3、242nn2n1 2(n1)2n1. Sn2(n1)2n1，nN. 总结 错位相减法主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列 anbn的前n项和. 利用“错位相减法”时，先写出Sn与qSn的表达式，再将两式对齐作差， 正确写出(1q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨论公比q是否等于1). 1.并项求和一定是相邻两项结合.( ) 2.裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 题型一 分组分解求和 解 当x1时， 当x1时，Sn4n.
4、 反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等 比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出 原数列的和. 跟踪训练1 已知正项等比数列an中，a1a26，a3a424. (1)求数列an的通项公式； 解 设数列an的公比为q(q0)， ana1qn122n12n. (2)数列bn满足bnlog2an，求数列anbn的前n项和. 解 bnlog22nn，设anbn的前n项和为Sn， 则Sn(a1b1)(a2b2)(anbn) (a1a2an)(b1b2bn) (2222n)(12n) 题型二 裂项相消求和 以下同例2解法. 引申探究 反思感悟 求和前一般先对
5、数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可 转化为f (n1)f(n)的形式，常采用裂项求和法. 跟踪训练2 求和： 题型三 奇偶并项求和 例3 求和：Sn1357(1)n(2n1). 解 当n为奇数时， Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1) 当n为偶数时， Sn(1)nn (nN). 反思感悟 通项中含有(1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项 法，分项数为奇数和偶数分别进行求和. 跟踪训练3 已知数列1，4，7，10，(1)n(3n2)，求其前 n项和Sn. 解 当n为偶数时，令n2k(kN)， SnS2k14710(1)n(3n2) (14)(710)(6k5
6、)(6k2) 当n为奇数时，令n2k1(kN)， SnS2k1S2ka2k3k(6k2) 题型四 错位相减求和 例4 (2018佛山检测)已知数列an的前n项和为Sn，且满足an3Sn2(nN). (1)求数列an的通项公式； 解 当n1时，a13S123a12，解得a11. 当n2时，an3Sn2，an13Sn12， (2)求数列nan的前n项和Tn. 两式相减得 反思感悟 用错位相减要“能识别，按步走，慎化简”. 跟踪训练4 已知数列an的通项公式为an3n1，在等差数列bn中，bn 0，且b1b2b315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列. (1)求数列anbn的通项公式； 解
7、an3n1，a11，a23，a39. 在等差数列bn中，b1b2b315，3b215，则b25. 设等差数列bn的公差为d，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列， (15d)(95d)64，解得d10或d2. bn0，d10应舍去，d2， b13，bn2n1. 故anbn(2n1)3n1，nN. 解 由(1)知Tn3153732(2n1)3n2(2n1)3n1， 3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n， ，得2Tn312323223323n1(2n1)3n 32(332333n1)(2n1)3n 32 (2n1)3n 3n(2n1)3n 2n3n. Tnn3n，nN. (2)
8、求数列anbn的前n项和Tn. 3达标检测 PART THREE 1234 1.数列12n1的前n项和为_. Snn2n1，nN 解析 an12n1， 1234 1234 解析 由题意得S100a1a2a99a100 (a1a3a5a99)(a2a4a100) (02498)(246100) 5 000. 5 000 1234 4.在数列an中，a11，an12an2n，nN. 证明 由已知an12an2n， bn1bn1，又b1a11. bn是首项为1，公差为1的等差数列. 1234 (2)在(1)的条件下求数列an的前n项和Sn. ann2n1. Sn1221322n2n1， 两边同时乘以
9、2得 2Sn121222(n1)2n1n2n， 两式相减得Sn121222n1n2n 2n1n2n(1n)2n1， Sn(n1)2n1. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 求数列的前n项和，一般有下列几种方法. 1.错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 3.裂项相消 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项， 只剩有限项再求和. 4.奇偶并项 当数列通项中出现(1)n或(1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分 类讨论. 5.倒序相加 例如，等差数列前n项和公式的推导方法.