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1、专题突破三 数列通项公式的求法 第二章 数列 求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考 试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法. 一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前n项，写出通项公式： (1)3，5，3，5，3，5，； 解 这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5. 所以它的一个通项公式为an4(1)n，nN. 解 数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1， 反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘 除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、 递减及递减速度
2、、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关 系.需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于 “猜想”，而且表达式不一定唯一. 跟踪训练1 由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，7，13，19，25，； 解 数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列， 且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an(1)n1(6n5)，nN. 二、利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘 例2 (1)数列an满足a11，对任意的nN都有an1a1ann，求通项 公式； 解 an1ann1，an1ann1， 即a2a12，a3a23，anan1n(n2)
3、. 等式两边同时相加得ana1234n(n2). 反思感悟 形如an1anf(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成an1anf(n)； 第二步 当n2时，依次写出anan1，a2a1，并将它们叠加起来； 第三步 得到ana1的值，解出an； 第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写 出分段形式.叠乘法类似. 跟踪训练2 在数列an中，a11，anan1n1(n2，3，4，)，求 an的通项公式. 解 当n1时，a11， 命题角度2 构造等差( (比) )数列 例3 已知数列an满足an13an2，且a11，则an_. 23n11 解
4、析 设an1A3(anA)，化简得an13an2A. 又an13an2，2A2，即A1. 数列an1是等比数列，首项为a112，公比为3. 则an123n1，即an23n11. 反思感悟 形如an1panq(其中p，q为常数，且pq(p1)0)可用待定 系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步 假设递推公式可改写为an1tp(ant)； 第四步 写出数列an通项公式. 跟踪训练3 已知数列an满足an12an35n，a16，求数列an的通 项公式. 解 设an15n12(an5n)， 将an12an35n代入式， 得2an35n5n12an25n， 等式两边消去2an，得35n5n125n， 两
5、边除以5n，得352，则1， 代入式得an15n12(an5n). 由a1516510及式得an5n0， 则数列an5n是以1为首项，2为公比的等比数列， 则an5n2n1，故an2n15n(nN). 命题角度3 预设阶梯转化为等差(比)数列 例4 在数列an中，a12，an14an3n1，nN. (1)证明：数列ann是等比数列； 证明 由an14an3n1， 得an1(n1)4(ann)，nN. 所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列. (2)求数列an的通项公式. 解 由(1)，可知ann4n1，nN， 于是数列an的通项公式为an4n1n，nN. 反思感悟 课程标准对递推公式要求
6、不高，故对递推公式的考查也比较简 单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式， 故同学们不必在此处挖掘过深. 跟踪训练4 在数列an中，a11，3anan1anan10(n2，nN). 证明 由3anan1anan10(n2)， (2)求数列an的通项公式. 三、利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式 例5 已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4，nN，则an等于 A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2 解析 因为Sn2an4，所以n2时，Sn12an14， 两式相减可得SnSn12an2an1，即an2an2an1，整理得an2an1， 所以数列an是首
7、项为4，公比为2的等比数列，则an42n12n1，故选A. 反思感悟 已知Snf(an)或Snf(n)的解题步骤： 第一步 利用Sn满足条件p，写出当n2时，Sn1的表达式； 第二步 利用anSnSn1(n2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式； 第三步 若求出n2时的an的通项公式，则根据a1S1求出a1，并代入 n2时的an的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出 分段形式.如果求出的是an的递推公式，则问题化归为例3形式的问题. 得(n1)an13nan(n2)， 即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列，且a11，a21， 于是2a22，故当n2时，nan23n2.
8、 达标检测 DABIAOJIANCEDABIAOJIANCE 1.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是 1234567 解析 注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可. 1234567 以上(n1)个式子相乘得 1234567 4.数列an的前n项和为Snn23n1，nN，则它的通项公式为 _. 解析 当n1时，a1S15； 当n2时，anSnSn12n2. 1234567 5.在等比数列an中，若公比q4，且前三项之和等于21，则该数列的通项 公式是_. an4n1 解析 依题意a14a142a121， 所以a11， 所以ana1qn14n1. 1234567 6.已知数列an的前n项和Sn2n23n.求an的通项公式. 解 因为Sn2n23n， 所以当n2时， Sn12(n1)23(n1)2n27n5， 所以anSnSn14n5，n2， 又当n1时，a1S11，满足an4n5， 所以an4n5，nN. 1234567 7.已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.证明an是等比数列，并 求其通项公式. 1234567 由Sn1an，Sn11an1， 得an1an1an， 即an1(1)an. 由a10，0得an0， 1234567