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1、3.1.1 空间向量的线性运算 第三章 3.1 空间向量及其运算 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向 量等的概念. 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加 法的交换律和结合律. 3.掌握数乘向量运算的意义及运算律. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 空间向量的概念 1.在空间中，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 . 大小方向 长度模 长度 2.几类特殊的空间向量 名称定义及表示 零向量起点与终点重合的向量叫做 ，记
2、为0 单位向量 的向量称为单位向量 零向量 模为1 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，称为a的相反向量， 记为a 相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量， 且 的有 向线段表示同一向量或相等向量 共线向量或 平行向量 有向线段所在的直线叫做向量的基线.如果空间中一些向量 的基线 ，则这些向量叫做 或_ _ 相等相反 相同相等同向等长 互相平行或重合共线向量 平 行向量 2.空间向量加法交换律 ab ， 空间向量加法结合律 (ab)ca(bc). 知识点二 空间向量的加减运算及运算律 1.类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算. ba 知识点三 数乘向量运算 1.实数与向量的积
3、 与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数 乘运算，记作a，其长度和方向规定如下： (1)|a| . (2)当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向 ；当0时， a0. 2.空间向量数乘运算满足以下运算律 (1)(a) ； (2)(ab) . |a| 相反 ()a ab 1.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( ) 2.零向量没有方向.( ) 3.两个有公共终点的向量，一定是共线向量.( ) 4.空间向量的数乘中只决定向量的大小，不决定向量的方向.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKA
4、OBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 题型一 空间向量的概念理解 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.空间向量不满足加法结合律 B.若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 D.相等向量其方向必相同 解析 A中，空间向量满足加法结合律； B中，|a|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)给出以下结论： 两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； 在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有 ； 若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D
5、.3 解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确； 显然正确.故选B. 反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相 关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两 向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. A.1 B.2 C.3 D.4 (2)如图，在长方体ABCDABCD中，AB3， AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终 点的向量中： 单位向量共有多少个？ 题型二 空间向量的加减运算 例2 如图，已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在 图中标出化简结果的向量. 解 结合加法运算 反思感悟 空间向
6、量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运 算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时， 务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得 更准确的结果. 证明 平行六面体的六个面均为平行四边形， 题型三 数乘向量运算 例3 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设 ，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各 向量： 反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，
7、利用三角形法则、 平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 核心素养之逻辑推理 HEXINSUYANGZHILUOJITUILIHEXINSUYANGZHILUOJITUILI 对空间向量的有关概念理解不清致误 解析 错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点 的位置无关. 错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. 故一共有3个错误命题，正确答案为C. 素养评析 (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键. (2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质. 3达标检测 PART T
8、HREE 1.下列命题中，假命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.空间中任意两个单位向量必相等 12345 12345 2.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量 相等的向量共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12345 3.向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是 A.ab B.ab为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|3 解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确. 12345 12345 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知
9、下列各式： 解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： 4 1.一些特殊向量的特性 (1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的. (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模 相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量. 2.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵 活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必 注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE