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1、第1课时 等差数列的前n项和公式 第二章 2.3 等差数列的前n项和 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三 个求另外两个. 3.能用an与Sn的关系求an. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 等差数列的前n项和 1.定义：对于数列an，一般地，称 为数列an的前n项和. 2.表示：常用符号Sn表示，即Sn . 知识点二 等差数列的前n项和公式 已知量首项，末项与项数首项，公差与项数 求和公式Sn_Sn_ a1
2、a2a3an a1a2a3an 知识点三 a1，d，n，an，Sn知三求二 两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项， 公差，项数，项和前n项和. 2.依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个 量，即“知三求二”. 知识点四 数列中an与Sn的关系 对于一般数列an，设其前n项和为Sn， S1 SnSn1 特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用. (2)若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中，令n1求得a1与利用a1S1求 得的a1相同，则说明anSnSn1(n2)所得通项公式也适合n1的情况，数 列的通项公式用anSnSn
3、1表示. 若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中，令n1求得的a1与利用a1S1求 得的a1不相同，则说明anSnSn1(n2)所得通项公式不适合n1的情况， 数列的通项公式采用分段形式. 1.若数列an的前n项和为Sn，则S1a1.( ) 2.若数列an的前n项和为Sn，则anSnSn1，nN*.( ) 3.等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 4.123100 .( ) 2题型探究 PART TWO 题型一 等差数列前n项和公式的基本运算 例1 在等差
4、数列an中： (1)已知a5a1058，a4a950，求S10； 解 方法一 由已知条件得 a1a1042， (2)已知S742，Sn510，an345，求n. a46. n20. 反思感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和 整体思想的运用. (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二. 跟踪训练1 在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n. 题型二 由Sn与an的关系求an 例2 已知数列an的前n项和为Snn2 n，求这个数列的通项公式.这个数列 是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解 根据Sn
5、a1a2an1an可知 Sn1a1a2an1(n1，nN*)， 当n1时， 引申探究 若将本例中前n项和改为Snn2 n1，求通项公式. 解 当n2时，anSnSn1 反思感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时， anSnSn1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表 示，不符合则分段表示. 跟踪训练2 已知数列an的前n项和Sn3n，求an. 解 当n1时，a1S13； 当n2时，anSnSn13n3n123n1. 当n1时，代入an23n1得a123. 题型三 等差数列在实际生活中的应用 例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格
6、为1 150元，购买当天先付 150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交 付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交 付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解 设每次交款数额依次为a1，a2，a20， 则a1501 0001%60， a250(1 00050)1%59.5， a1050(1 000950)1%55.5， 即第10个月应付款55.5元. 由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列， 即全部付清后实际付款1 1051501 255(元). 反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项
7、数或者 首项、末项和项数. 跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟 走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ 解 设n分钟后两人第1次相遇，由题意， 解得n7，n20(舍去). 所以第1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m， 乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 设n分钟后第2次相遇，由题意， 整理得n213n4200. 解得n15，n28(舍去). 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟. 3达标检测 PART THR
8、EE 12345 1.已知等差数列an满足a11，am99，d2，则其前m项和Sm等于 A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 解析 由ama1(m1)d，得991(m1)2， 解得m50， 12345 2.记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于 A.2 B.3 C.6 D.7 方法二 由S4S2a3a4a12da22dS24d， 所以20444d，解得d3. 12345 3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19 . 190 19a10 1910190. 12345 4.已知数列an是等差数列，Sn是它的前n项和.若S420，a48，
9、则S8 . 72 解得a1d2 12345 5.已知数列an满足a12a2nann(n1)(n2)，则an . 3(n1)(nN*) 解析 由a12a2nann(n1)(n2)， 当n2，nN*时，得a12a2(n1)an1(n1)n(n1)， ，得nann(n1)(n2)(n1)n(n1) n(n1)(n2)(n1)3n(n1)， an3(n1)(n2，nN*). 又当n1时，a11236也适合上式， an3(n1)，nN*. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可 能用到. 2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其 中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体 思想的应用，注意下面结论的运用： 若mnpq，则amanapaq(n，m，p，qN*)；若mn2p，则am an2ap(m，n，pN*).