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1、专题突破一 离心率的求法 第二章 圆锥曲线与方程 一、以渐近线为指向求离心率 例1 (1)已知双曲线两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为_. 解析 方法一 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况. 当双曲线的焦点在x轴上时， 若其中一条渐近线的倾斜角为60，如图1所示； 若其中一条渐近线的倾斜角为30，如图2所示， 方法二 根据方法一得到：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角为 30或60， 当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角为30或60， (2)已知双曲线 1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直 线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是
2、 _. 故离心率e的取值范围是2，). 2，) 跟踪训练1 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)， 则它的离心率为 解析 由题意知，过点(4，2)的渐近线的方程为 二、以焦点三角形为指向求离心率 思维切入 连接AF1，在F1AF2中利用双曲线的定义可求解. 解析 方法一 如图，连接AF1，由F2AB是等边三角形，知AF2F130. 易知AF1F2为直角三角形， 方法二 如图，连接AF1，易得F1AF290， F1F2A30，F2F1A60， 于是离心率 解析 如图，设PF1的中点为M，连接PF2. 因为O为F1F2的中点， 所以OM为PF1F2的中位线. 所以OMPF2
3、，所以PF2F1MOF190. 因为PF1F230， 由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|， 三、寻求齐次方程求离心率 例3 已知双曲线E： 1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上， AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_. 思维切入 通过2|AB|3|BC|，得到a，b，c的关系式， 再由b2c2a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次 方程，求得e. 2 又2|AB|3|BC|， 即2b23ac， 2(c2a2)3ac， 两边同除以a2并整理得2e23e20， 解得e2(负值舍去). 由ABBF得|AB|2|BF
4、|2|AF|2， 将b2a2c2代入，得a2acc20， 四、利用圆锥曲线的范围求离心率的取值范围 又x20，a2，2c2a23c2， 点评 一是通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离 心率的取值范围. 二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围. (1)椭圆焦半径的取值范围为ac，ac. (2)双曲线的焦半径 点P与焦点F同侧时，其取值范围为ca，)； 点P与焦点F异侧时，其取值范围为ca，). 解析 P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， |PF1|4|PF2|， 4|PF2|PF2|2a， 根据点P在双曲线的右支上， 12345 a24b2. 达标检测 DABIAOJIANCEDABIAOJIANCE 12345 12345 12345 解析 由题意知圆的半径是椭圆的焦距， 由圆在椭圆内部，得bc，即b2c2， 12345 12345 解析 根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限， 又|F1F2|2c，|PF2|最小. 在PF1F2中，由余弦定理，