《2020版数学人教B版选修2-1课件：第三章 3.2.3~3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1课件：第三章 3.2.3~3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量 .pdf（51页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量 第三章 3.2 直线的方向向量与直线的向量方程 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性. 2.会求直线与平面的夹角. 3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中 的二面角的平面角. 4.掌握求二面角的基本方法、步骤. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 直线与平面所成的角 1.直线与平面所成的角 90 0 射影 如图，AB，则图中，1，2之间的关系是 _ 2.最小角定理 cos cos
2、1cos 2 射影 最小的角 最 小 角 定 理 斜线和它在平面内的_所成的角，是斜线和这个平 面内所有直线所成角中_ 知识点二 二面角及理解 1.二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分 都叫做半平面.从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.如图 所示，其中，直线l叫做二面角的 ，每个半平面叫做二面角的 ，如图 中的，. 两个半平面 棱面 (2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为，的二面角，记作l.如图， A，B，二面角也可以记作AlB，也可记作2l. (3)二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点O，在两半平面内分别 作射线OAl，OBl，则AO
3、B叫做二面角l的平面角，如图所示.由 等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关. (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角. (5)二面角的范围是0，180. 2.用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角l的面，内，并沿，延伸的方向，作向量 n1l，n2l，则_等于该二面角的平面角. (2)如图，设m1，m2，则角_与该二面角大小相等或互补. n1，n2 m1，m2 1.直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角互 余.( ) 2.二面角的大小范围是 .( ) 3.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( ) 思考辨析 判断正误
4、SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 例1 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a，求AC1与侧 面ABB1A1所成的角. 题型一 求直线与平面的夹角 解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 方法一 取A1B1的中点M， 则MC1AB，MC1AA1. 又ABAA1A， MC1平面ABB1A1. C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角. 又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面ABB1A1所成的角为30. 设侧面ABB1A1的法向量为n(，y，z)， yz0.故n
5、(，0,0). 又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面ABB1A1所成的角为30. 反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适 当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向 量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算. 跟踪训练1 如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC， BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB 的中点，求BD与平面ADMN所成的角. 解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设BC1， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,
6、0,2)则N(1,0,1)， 设平面ADMN的法向量为n(x，y，z)， n(1,0，1)， 又090，30. 题型二 求二面角 例2 在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD， 且PAAB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角. 解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PAABa，ACb，连接BD与AC，交于点O，取 AD中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，B(0，a,0) D(b，a,0)，P(0,0，a)， EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角. 平面EAC与平
7、面ABCD的夹角为45. 方法二 建系如方法一， PA平面ABCD， 设平面AEC的法向量为m(x，y，z). x0，yz.取m(0,1,1)， 又平面EAC与平面ABCD所成角的平面角为锐角， 平面EAC与平面ABCD的夹角为45. 反思感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量 法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单 的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小 (相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角 还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于 法向量夹角；同进
8、同出，二面角等于法向量夹角的补角. 跟踪训练2 若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC ，求锐二面角 APBC的余弦值. 解 如图所示建立空间直角坐标系Axyz， 设平面PAB的法向量为 m(x，y，z)， 设平面PBC的法向量为n(x，y，z)， 令y1，则z1，故n(0，1，1)， 题型三 空间角中的探索性问题 例3 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD. (1)求证：ABPD； 证明 因为ABCD为矩形，所以ABAD； 又因为平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD， 所以AB平面PAD，故ABPD. (2)若BPC90，
9、PB ，PC2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积 最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值. 解 过点P作POAD于点O. 则PO平面ABCD，过点O作OMBC于点M， 连接PM.则PMBC， 设ABt，则在RtPOM中， 以OA，OM，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空 间直角坐标系Oxyz， 设平面PCD的法向量为m(x1，y1，z1)， 同理设平面PBC的法向量n(x2，y2，z2)， 设平面PBC与平面DPC的夹角为，显然为锐角， 反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的 几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向 量的坐标
10、运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题 来处理. 跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1AB AC1，且ABAC，点M是CC1的中点，点N是BC的中点，点P在直线A1B1 上，且满足 . (1)证明：PNAM； 证明 以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建 立空间直角坐标系Axyz， 所以PNAM. (2)当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角最大值的正 切值. 解 过点P作PEAB于E，连接EN， 则PE平面ABC， 则PNE为所求角， 核心素养之直观想象 HEXINSUYANGZHIZHIGUA
11、NXIANGXIANGHEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG 利用向量求二面角 典例 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方 形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角C-BE-F都是60. (1)证明：平面ABEFEFDC； 证明 由已知可得AFDF，AFFE， 所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF， 故平面ABEF平面EFDC. (2)求二面角EBCA的余弦值. 解 过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF. 由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60， 由已知ABEF，AB 平面EFDC，EF平面
12、EFDC， 所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF， 由BEAF，可得BE平面EFDC， 所以CEF为二面角C-BE-F的平面角，CEF60， 设n(x，y，z)是平面BCE的法向量， 素养评析 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入 深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台.第(1)问侧重对 立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单.求解第(2) 问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系， 并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题. 3达标检测 PART THREE
13、1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n ，则l与所成的角为 A.30 B.60 C.120 D.150 12345 解析 设l与所成的角为，则 30. 12345 2.正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为 12345 解析 建系如图，设正方体的棱长为1， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)， AC1A1B，AC1A1D，又A1BA1DA1， 3.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角 为_. 12345 解析 设二面角的平
14、面角为， 45或135 4.正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为_. 12345 解析 作AO底面BCD，垂足为O，O为BCD的中心， 设正四面体的棱长为a， 12345 5.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的 余弦值为_. 12345 设平面ABC的法向量为n(x，y，z). 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.线面角可以利用定义在直角三角形中解决. 2.线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平 面所成的角为，则sin |cosa，n| . 3.二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二 面角的大小关系.