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1、2.3 变量的相关性 第二章 统 计 学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图. 2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系. 3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程. 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 变量间的相关关系 思考思考1 粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？ 思考思考2 怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？ 答案 答案 在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是 正相关. 答案 答案 画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个 变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系. 梳理 梳理 1.相关关系的定义 变量
2、间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的 关系是带有 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两 个变量之间的关系分为 和 . 2.散点图 将样本中n个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中得到 的图形叫做散点图. 随机性 函数关系相关关系 3.正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变 大，这种相关称为 . (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小， 这种相关称为 . 正相关 负相关 思考 思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？ 知识点二 两个变量的线性相关 答案 答案 用最小
3、二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据是否 具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程 是无意义的. 梳理 梳理 回归直线方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 附近， 就称这两个变量之间具有 关系，这条直线叫做回归直线. (2)回归直线方程： 对应的方程叫做回归直线方程. 一条直线 线性相关 回归直线 斜率截距 思考辨析 判断正误 1.人的身高与年龄之间的关系是相关关系.( ) 2.农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系.( ) 3.回归直线过样本点中心( ).( ) 题型探究 例例1 下列两个变量之间是相关关系的是 A.圆的面积与半径之间的关系
4、 B.球的体积与半径之间的关系 C.角度与它的正弦值之间的关系 D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 题型一 变量间相关关系的判断 答案解析 解析 解析 由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系Sr2， B表示球的体积与半径之间的关系V ， C表示角度与它的正弦值之间的关系ysin ，都是确定的函数关系， 只有D是相关关系，故选D. 反思与感悟 反思与感悟 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量 与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是 因果关系，也可能是伴随关系. 跟踪训练跟踪训练1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是 A.正方体的棱长与体积 B.角的度数与它
5、的正切值 C.单产为常数时，土地面积与粮食总产量 D.日照时间与水稻的单位产量 解析 答案 解析 解析 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系 是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定 性的关系.因为A项Va3， B项ytan ， C项yax(a0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系. D项是相关关系. 题型二 散点图的应用 解答 例例2 5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下： 判断它们是否具有线性相关关系. 学生 成绩 ABCDE 数学成绩8075706560 物理成绩7066686462 解 解 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应
6、的散点图如图所示. 由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系. 反思与感悟 反思与感悟 (1)判断两个变量x和y间具有哪种相关关系，最简便的方 法是绘制散点图.变量之间可能是线性的，也可能是非线性的(如二次 函数)，还可能不相关. (2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形偏大或偏小，或者 是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论. 跟踪训练跟踪训练2 下列图形中两个变量具有线性相关关系的是 解析解析 A是一种函数关系； B也是一种函数关系； C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关 关系，而且是一种线性相关； D中所有的点在
7、散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的. 答案解析 例例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点， 每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为 抽样试验的结果： 题型三 回归直线的求解与应用 解答 (1)画出散点图； 转速x(转/秒)1614128 每小时生产有缺点的零件数y(件)11985 解 解 散点图如图所示： (2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系； 解答 解 解 近似直线如图所示： (3)在实际生产中，若它们的近似方程为 ，允许每小时生产的 产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范 围
8、内？ 解答 所以机器的运转速度应控制在14转/秒内. 引申探究引申探究 1.本例中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数 近似增加多少？ 解答 2.本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器 的转速. 解得x11. 反思与感悟 反思与感悟 求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i1,2，n)(数据一般由题目给出). (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系. 跟踪训练跟踪训练3 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百 万元)之间有如下对应数据： 解答 x24568 y3040605070 (1)画出散点图；
9、 解 解 散点图如图所示. (2)求回归直线方程. 解答 解解 列出下表，并用科学计算器进行有关计算. i12345 xi24568 yi3040605070 xiyi60160300300560 416253664 达标检测 1.设有一个回归直线方程为 21.5x，则变量x增加1个单位时，y平均 A.增加1.5个单位 B.增加2个单位 C.减少1.5个单位 D.减少2个单位 答案 12345 答案解析 2.工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归直线方程为 50 80x，下列判断正确的是 A.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元 B.劳动生产率提高1 000元时，工人
10、工资平均提高80元 C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元 D.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元 12345 解析 解析 因为回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动 生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元. 3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系， 根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归直线 方程为 0.85x85.71，则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点中心( ) C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0
11、.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 12345 答案解析 解析 解析 当x170时， 0.8517085.7158.79，体重的估计值为58.79 kg. 答案解析 4.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则回归直线方程 是_. 12345 解析 解析 回归直线的斜率的估计值为1.23， 又回归直线过定点(4,5)， 12345 5.某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合 0.8x 0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计 是_亿元. 答案解析 12.1 1.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据 散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关， 是正相关还是负相关. 2.求回归直线方程时应注意的问题 (1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相 关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的 相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计 和预测的量也是不可信的. 规律与方法