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1、2.4.2 抛物线的几何性质 第二章 2.4 拋物线 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 抛物线的几何性质 标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) 图形 范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 对称轴x轴x轴y轴y轴 当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若0，直线与 抛物线有 个公共点；若0，即k1时，l与C没有公共
2、点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点； 当k1时，l与C没有公共点. 反思感悟 直线与抛物线位置关系的判断方法 设直线l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立 消元得k2x2(2kb2p)xb20. (1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴 或与对称轴重合. (2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交 于A，B两点，且|AB| p，求AB所在的直线方程. 所以直线AB的斜率存在，设为k， 消去x，整理得ky22p
3、ykp20. 解得k2. 所以AB所在的直线方程为2xyp0 或2xyp0. 引申探究 本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离. 反思感悟 求抛物线弦长问题的方法 (1)一般弦长公式 (2)焦点弦长 设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| x1x2p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与 系数的关系求出x1x2即可. 跟踪训练3 已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点. (1)若|AB|10，求实数m的值； 得x2(2m8)xm20. 由(2m8)24m26432m0，得m0)，由题意知p4， 拋物线方程为y28x或y
4、28x. 3.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该 抛物线准线的距离之和的最小值为 12345 由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离， 因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以 转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值， 结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离， 12345 4.过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横 坐标为3，则|AB|_. 8 解析 易知抛物线的准线方程为x1， 则线段AB的中点到准线的距离为3(1)
5、4. 由抛物线的定义易得|AB|8. 12345 5.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两 点，若线段AB的长为8，则p_. 2 12345 解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 易知过抛物线y22px(p0)的焦点F， 得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2. 即(2p)24(p2)32. 又p0，p2. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便. 2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜 率与对称轴所在直线斜率的关系. 3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问 题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键 是代换和转化.