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1、9.7 抛物线,大一轮复习讲义,第九章 平面解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . 2.抛物线的标准方程与几何性质,ZHISHISHULI,相等,准线,焦点,1.若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？,【概念方法微思考】,提示 过点F且与l垂直的直线.,2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？,提示 直线与抛物
2、线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是 准线方程是x ( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.(
3、),1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编 2.P69例4过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于 A.9 B.8 C.7 D.6,1,2,3,4,5,6,7,解析 抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1. 根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.,1,2,3,4,5,6,7,3.P73A组T3若抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之和的最小值是,解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离， 由抛物线y24x及
4、直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离. 点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x4y70的距离，,1,2,3,4,5,6,4.P72T1已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,7,y28x或x2y,解析 设抛物线方程为y2mx(m0)或x2my(m0). 将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.,题组三 易错自纠 5.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 A.4 B.6 C.8 D.12,1,2,3,4,5,6,7,解析 如图所示，抛物线的准线l的方
5、程为x2，F是抛物线的焦点， 过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B， 则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4， 则点P到准线l的距离|PB|426， 所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B.,6.已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是,1,2,3,4,5,6,7,7.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,1，1,7,解析 Q(2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意， 故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程， 消去y整理得k2x2(4k
6、28)x4k20， 当k0时，符合题意，当k0时， 由(4k28)24k24k264(1k2)0， 解得1k1且k0， 综上，k的取值范围是1，1.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,命题点1 定义及应用 例1 设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_.,题型一 抛物线的定义和标准方程,多维探究,解析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|P1F|. 则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4， 即|PB|PF|的最小值为4.,4,1.若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|PF|的最小值.,解 由题意可知点B(
7、3，4)在抛物线的外部. |PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)，,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.,解 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0). 点P到y轴的距离d1|PF|1， 所以d1d2d2|PF|1. 易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，,命题点2 求标准方程 例2 设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的标准方程为 A.y24x或y28x B.y22x或y28x C
8、.y24x或y216x D.y22x或y216x,又因为圆过点(0，2)，所以yM4，,解得p2或p8，所以抛物线C的标准方程为y24x或y216x，故选C.,(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.,跟踪训练1 (1)设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_.,解析 如图，易知抛物线
9、的焦点为F(1，0)，准线是x1， 由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到F的距离. 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小， 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，,(2)如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的标准方程为,解析 分别过点A，B作AA1l，BB1l，且垂足分别为A1，B1， 由已知条件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|， 所以BCB130. 又|AA1|AF|3， 所以|AC|2|AA1|6，
10、所以|CF|AC|AF|633， 所以F为线段AC的中点.,故抛物线的标准方程为y23x.,题型二 抛物线的几何性质,师生共研,解析 不妨设P在第一象限，过Q作QRPM，垂足为R， 设准线与x轴的交点为E，,由抛物线焦点弦的性质可得,解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x2的垂线，,在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,跟踪训练2 (1)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为 A.18 B.24 C.3
11、6 D.48,解析 以抛物线的顶点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为y22px(p0)，,可得y2p2，|AB|12，即2p12， 所以p6. 因为点P在准线上， 所以点P到AB的距离为p6，,(2)(2015浙江)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是,解析 由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，,由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l， 则l的方程为x1. 点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直， 垂
12、足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M. 由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1. 在CAN中，BMAN，,解 设抛物线的方程是x22py(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线定义可知y1y2p8， 又AB的中点到x轴的距离为3， y1y26， p2， 抛物线的标准方程是x24y.,题型三 直线与抛物线,师生共研,例4 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3. (1)求抛物线的标准方程；,(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点.连接QF并延长交抛物线的准
13、线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程.,解 由题意知，直线m的斜率存在， 设直线m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，,又Q，F，R三点共线， kQFkFR，又F(0，1)，,整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一
14、般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,(4)设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,以弦AB为直径的圆与准线相切. 通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,跟踪训练3 已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0，1)，设过点M的动直 线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N. (1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；,解 可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将AB的方程代入抛物线C，得 x22pkx2p0
15、，4p2k28p0，显然方程有两不等实根， 则x1x22pk，x1x22p. ,则有p2.,(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.,又N在yAN和yBN上，,N(pk，1).,故抛物线C的方程为x24y.,例 (15分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标； (2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,答题模板,DATIMUB
16、AN,直线与圆锥曲线问题的求解策略,规范解答,消去y得mx22x20(m0)， 依题意，有(2)24m(2)8m40恒成立， 方程必有两个不等实根. 7分,m0，m2. 存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形. 15分,答题模板 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,
17、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 抛物线的标准方程为x28y， 则其焦点坐标为(0，2)，故选B.,2.已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，若 等于 A.3 B.4 C.6 D.7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由已知B为AF的三等分点，作BHl于H，如图，,3.抛物线x24y的焦点为F，过点F作斜率为 的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则AHF的面积是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
18、4,15,16,AF的倾斜角为30，AH垂直于准线， FAH60，故AHF为等边三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故等边三角形AHF的边长|AH|4，,4.抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则p等于 A.2 B.4 C.6 D.8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 圆的面积为36，圆的半径为6.,1,2,3,4,5,6,7,
19、8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 记抛物线y22px的准线为l， 如图，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是A1，B1，C，,6.(2018浙江省杭州市四校联考)直线l交抛物线y24x于A，B两点，C(1，2)，若抛物线的焦点F恰好为ABC的重心，则直线AB的方程是 A.2xy30 B.2xy50 C.2xy50或2xy30 D.2xy30,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
20、,16,解析 方法一 由题意知，抛物线的焦点F(1，0). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,x1x24，y1y22， 线段AB的中点坐标为(2，1). 设直线AB的方程为t(y1)x2，与抛物线方程联立，消去x并整理得y24ty4(t2)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即2xy30，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 由题意知，抛物线的焦点F(1，0).,x1x24，y1y22， 线段AB的中点坐标为(2，1)，所以x1x2. 又A，B在抛物线上，,则直线AB的方程为y12(
21、x2)，即2xy30，故选D.,7.动点P到点A(0，2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，则动点P的轨迹方程为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x28y,解析 动点P到点A(0，2)的距离比它到直线l：y4的距离小2， 动点P到点A(0，2)的距离与它到直线y2的距离相等. 根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0，2)为焦点，以直线y2为准线的抛物线，其标准方程为x28y.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析
22、如图，过点M，N分别向抛物线y24x的准线x1作垂线段MA，NB， 其中MA交y轴于点C，因为抛物线y24x的焦点为F(1，0)，所以|OF|1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018湖州模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|FB|8，则p_.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.如图，已知抛物线C：x22y，F是其焦点，A
23、B是抛物线C上的一条弦.若点A的坐标为(2，2)，点B在第一象限上，且|BF|2|AF|，则直线AB的斜率为 _，ABF的外接圆的标准方程为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则kAFkBF1，直线AF与直线BF相互垂直，即ABF为直角三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018浙江七彩阳光联盟联考)已知F是抛物线C：x24y的焦点，
24、点P是不在抛物线上的一个动点，过点P向抛物线C作两条切线l1，l2，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设P(x0，y0)，则由得x1x02y12y00及x2x02y22y00， 所以直线AB的方程为x0x2y2y00.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由于点P是直线y1上的一个动点， 所以y01， 即直线AB的方程为x0x2y20， 因此它过抛物线的焦点F(0，1). 当x00时，AB的方程为y1，此时|AF|BF|2，,当x00时，把直线AB的方程代入抛物
25、线C的方程，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若点P在以F为圆心，半径为4的圆上，求|AF|BF|的值.,设直线AB的方程为ykxm，代入抛物线C：x24y，得x24kx4m0， 则x1x24k，x1x24m， 所以点P的坐标为(2k，m)，,从而|AF|BF|(y11)(y21)(kx1m1)(kx2m1)k2x1x2k(m1)(x1x2)(m1)24mk24k2(m1)164k216.,12.如图，过抛物线M：yx2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线
26、AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 因为y2x， 所以直线AB的斜率k 2x0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设C(x1，y1)，G(x2，y2)，,因为G为ABC的重心， 所以y13y2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,13.如图所示，过抛物线y22px
27、(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作ADl，交l于点D， 由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p， 所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,代入抛物
28、线方程y24x，得3x210x30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作ADl，交l于点D， 由抛物线的定义知，|AD|AF|4， 由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p， 所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法三 如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作ADl，交l于点D， 由抛物线的定义知，|AD|AF|4， 由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p， 所以2p4
29、，解得p2， 所以抛物线的方程为y24x.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.如图所示，抛物线y x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则若AB的斜率为1，则|AB|4；|AB|min2；yM1；若AB的斜率为1，则xM1； xAxB4.以上结论正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得，焦点F(0，1)，对于，lAB的方程为yx1，与抛物线的方程联立，,所以yA
30、yB6，则|AB|yAyBp8，则错误； 对于，|AB|min2p4，则错误；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设lAB的方程为ykx1，与抛物线的方程联立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以xAxB4k，xAxB4， 所以yM1，和均正确； 对于，当AB的斜率为1时，xM2，则错误，故选B.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2019浙江省镇海中学模拟)已知抛物线y24x，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则|AF| 的
31、最小值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，代入y24x 可得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21. 由抛物线的定义可得|AF|x11，|BF|x21，,令x21t(t0)，则x2t1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，,当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条. 当k存在时，x1x2，,又y1y22y0，所以y0k2.,所以4r216，即2r4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即y0k5x0， 因此25x0，x03， 即M必在直线x3上. 将x3代入y24x，,因为点M在圆上，,