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1、考查角度1古典概型与几何概型分类透析一古典概型的应用例1 有5个小球(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5个小球中任取2个不同颜色的小球,则取出的2个小球中含有红色小球的概率为().A.45B.35C.25D.15解析 选取2个小球的方法有红黄,红蓝,红绿,红紫,黄蓝,黄绿,黄紫,蓝绿,蓝紫,绿紫,共10种,含有红色小球的选法有4种.由古典概型公式,所求概率P=410=25.故选C.答案 C 方法技巧 古典概型中基本事件数的探求方法:(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:
2、适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化,抽象的题目具体化.分类透析二几何概型的应用例2 设不等式组x-y22,x+y-22,y0所表示的区域为M,函数y=-4-x2的图象与x轴所围成的区域为N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为().A.4B.8C.16D.2解析 如图,由题意知区域M为ABC及其内部,其面积为S=124222=8,区域N为半圆及其内部(图中阴影部分),其面积为S1=1222=2,所求概率P=28=4.故选A.答案 A方法技巧 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积
3、、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算P(A).例3 甲、乙两人约定7:10在某处会面,已知甲在7:00 7:20内某一时刻随机到达,乙在7:057:20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是().A.18B.14C.38D.58解析 建立直角坐标系,如图,x,y分别表示甲,乙两人到达的时刻,则矩形中的点(x,y)表示甲,乙两人到达的时刻,则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是y-x5,其构成的区域为图中阴影部分,则所求的概率为P=1215152015=38.故选C.答案 C方法技巧 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用
4、几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.1.(2018年全国卷,文5改编)从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成两位数,则该两位数大于32的概率为().A.12B.13C.14D.16解析 从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共12个,每个结
5、果出现的可能性是相同的,所以该试验属于古典概型.记事件A为“取出两个不同数字组成的两位数大于32”,则A中包含34,41,42,43,共4个基本事件,根据古典概型概率公式,得P(A)=412=13.故选B.答案 B2.(2018年全国卷,文5改编)某单位电话总机室内有2部外线电话:T1和T2.在同一时间内,T1打入电话的概率是0.4,T2打入电话的概率是0.5,两部同时打入电话的概率是0.2,则至少有一部电话打入的概率是().A.0.9B.0.7C.0.6D.0.5解析 所求的概率为0.4+0.5-0.2=0.7.故选B.答案 B3.(2018年全国卷,理10改编)折纸艺术是我国古代留下来的宝
6、贵民间艺术,具有很高的审美价值和应用价值.右图是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形,然后在四个顶点处分别嵌入半径为正方形边长一半的扇形.向图中随机投入一个质点,则质点落在阴影部分的概率P1与质点落在正方形内且圆形区域外的概率P2的大小关系是().A.P1P2B.P1P2C.P1=P2D.不能确定解析 将正方形内圆形区域外的四个直角进行沿直角边重合组合,恰好得到的图形就是阴影部分图形,所以阴影部分区域的面积等于正方形内圆形区域外的面积,故P1=P2.答案 C4.(2017年全国卷,理2改编)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展
7、现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被y=3sin6x的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为().A.136B.118C.112D.19解析 设大圆的半径为R,函数y=3sin6x的周期T=26=12,则R=T2=6,所以大圆的面积为S1=R2=36,两个小圆的面积之和为S2=122=2,故所求概率P=236=118.故选B.答案 B5.(2016年全国卷,理10改编)已知单位圆有一条长为2的弦AB,动点P在圆内,则使得APAB2的概率为.解析 如图,建立平面直角坐标系,设A(-1,0
8、),B(0,1),则AB=(1,1),设点P的坐标为(x,y),x2+y21,则AP=(x+1,y),APAB=x+1+y2,故x+y-10,则使得APAB2的概率为P=S阴影S圆=-24.答案 -241.(2018衡水三轮模拟)已知某厂产品的合格率为0.8,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是().A.合格产品少于8件B.合格产品多于8件C.合格产品正好是8件D.合格产品可能是8件解析 因为某厂产品的合格率为0.8,所以抽出10件产品检查,合格产品约为100.8=8件,根据概率的意义,可得合格产品可能是8件,故选D.答案 D2.(2018陕西咸阳一模)在区间-1,1上随机选取一个实数x,
9、则事件“2x-10”的概率为().A.12B.34C.23D.14解析 由题意得,2x-10,即x12,由几何概型的概率公式可得事件“2x-10”的概率为P=12-(-1)1-(-1)=34.故选B.答案 B3.(2018广东惠州模拟)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为().A.13B.12C.23D.34解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果,分别为(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,红),(白,白),(白,蓝),(蓝,红),(蓝,白),(蓝,蓝).他们选择相同颜色运动服
10、有3种不同的结果,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故他们选择相同颜色运动服的概率为39=13,故选A.答案 A4.(2018广东省高三一模)下图为射击使用的靶子,靶中最小的圆的半径为1,靶中各圆的半径依次加1,在靶中随机取一点,则此点取自黑色部分(7环到9环)的概率是().A.320B.325C.325D.20解析 根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得,此点取自黑色部分的概率是42-12102=320.故选A.答案 A5.(2018安徽马鞍山二模)从2名男生,3名女生中选3人参加某活动,则男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动的概率为().A.310B.25C.1
11、2D.35解析 设2名男同学为A1,A2(A1是男生甲),3名女同学为B1,B2,B3(B1是女生乙),则总的基本事件有A1A2B1,A1A2B2,A1A2B3,A1B1B2,A1B1B3,A1B2B3,A2B1B2,A2B1B3,A2B2B3,B1B2B3,共10种可能,男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动有A1A2B2,A1A2B3,A1B2B3,A2B1B2,A2B1B3,A2B2B3,共6种方法.所以由古典概型的公式得P(A)=610=35.故选D.答案 D6.(2018江西上饶二模)在-2,2上随机取一个数x,则cos x的值介于12与32之间的概率为().A.
12、13B.14C.15D.16解析 令12cos x32,-2x2,-3x-6或6x3,由几何概型的概率公式得P=23-62-2=13.故选A.答案 A7.(2018山东省枣庄市二模)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是().A.316B.38C.14D.18解析 如图,设AB=4,则OG=GH=FD=HI=IE=2,DE=2,所以此S四边形OGHI=22=2,S四边形EDFI=21=
13、2,所以此点取自阴影部分的概率是2+244=14.故选C.答案 C8.(2018大庆市二模)在古代,直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”(如图) 证明了勾股定理,证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 ),四个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实).”若弦图中“弦实”为16,
14、“朱实一”为23,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计),则其落入小正方形内的概率为().A.1-38B.1-32C.32D.1-32解析 弦图中“弦实”为16,“朱实一”为23.大正方形的面积为16,一个直角三角形的面积为23.小正方形的面积为16-83,随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计),则其落入小正方形内的概率为16-8316=1-32.故选D.答案 D9.(2018河南安阳二模)若执行如图所示的程序框图,其中rand0,1表示区间0,1上任意一个实数,则输出数对(x,y)的概率为().A.12B.6C.4D.32解析 本题概率类型为几何概型,测度为面积.所求概率为141211
15、=4.故选C.答案 C10.(2018 陕西高三联考)在由不等式组2x-y+140,x-3,y2所确定的三角形区域内随机取一点,则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是().A.9-2B.9-C.1-9D.1-18解析 画出关于x,y的不等式组2x-y+140,x-3,y2所构成的三角形区域,如图所示.ABC的面积为S1=1236=9,ABC内的点到其三个顶点的距离不都大于1所构成的区域的面积为S2=12,该点到此三角形的三个顶点的距离都不小于1的概率为P=9-29=1-18,故选D.答案 D11.(2018河南高三一模)如图,在正六边形ABCDEF内随机取一点,则此点取自阴影部分的
16、概率是().A.12B.25C.35D.512解析 设正六边形的边长为2,AC与BE的交点为G,易知AB=2,BG=1,AG=CG=3,CD=2,则所求的概率为1213+23(2+4)3=512.故选D.答案 D12.(2018山西一模)某市1路公交车每日清晨6:30于始发站A站发出首班车,随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙两人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班,甲在6:35-6:55内随机到达A站候车,乙在6:50-7:05内随机到达A站候车,则他们能搭乘同一班公交车的概率是().A.16B.14C.13D.512解析 建立如图所示的平面直角坐标系,x,y分别表示甲、乙两人到达A站的时刻,
17、则坐标系中每个点(x,y)可对应某日甲、乙两人到达车站时刻的可能性.根据题意,甲、乙两人到达A站的时刻的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,其中两人可搭乘同一班公交车对应的区域为黑色区域,根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为5102015=16.故选A.答案 A13.(2018华南师大附中模拟)已知如图所示的矩形,长为12,宽为5,在矩形内随机地投掷1000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆为600颗,则可以估计阴影部分的面积为.解析 由题意得S1256001000,所以S36.答案 3614.(2018江苏预测卷)在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务,则甲被选中,乙没有被选中的
18、概率为.解析 利用列举法可知在含甲、乙的6名学生中任选2人有15种方法,其中甲被选中,乙没有被选中的方法有4种,则甲被选中,乙没有被选中的概率为415.答案 41515.(2018绵阳南山中学模考)在一场比赛中,某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛,其得分的茎叶图如图所示,从上述得分超过10分的队员中任取2名,则这2名队员的得分之和超过35分的概率为.解析 从得分超过10分的队员中任取2名,一共有以下10种不同的取法:(12,14),(12,15),(12,20),(12,22),(14,15),(14,20),(14,22),(15,20),(15,22),(20,22).其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种:(14,22),(15,22),(20,22).故所求概率P=310.答案 310