《2019届高考数学文科二轮分类突破训练：第二篇考点三 考查角度1 立体几何中的平行与垂直的证明 Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学文科二轮分类突破训练：第二篇考点三 考查角度1 立体几何中的平行与垂直的证明 Word版含解析.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、考查角度1立体几何中的平行与垂直的证明分类透析一证明平行关系例1 如图,在菱形ABCD中,BAD=3,ED平面ABCD,EFDB,M是线段AE的中点,DE=EF=12AD=2.(1)证明:DM平面CEF.(2)求多面体ABCDEF的表面积.分析 (1)连接AC,设AC,BD的交点为O,连接MO,可证平面MOD平面CEF,从而DM平面CEF;(2)先判断各个面的形状,找出垂直关系,求出各边的长度,再计算表面积.解析 (1)连接AC,设AC与BD的交点为O,连接MO.DOEF,DO平面CEF,DO平面CEF.M是线段AE的中点,O为AC的中点,MO是ACE的中位线,MOEC.又MO平面CEF,MO
2、平面CEF.又MODO=O,平面MDO平面CEF.又DM平面MDO,DM平面CEF.(2)连接FO,由菱形ABCD可得ACBD.ED平面ABCD,AC平面ABCD,EDAC.又BDED=D,AC平面EDBF.又OF平面EDBF,ACOF.EFDO,且EF=DO,EDDO,ED=DO,四边形EDOF为正方形,ED=DO=OF=FE=2.在RtADE和RtCDE中,AD=CD=4,DE=2,AE=EC=25,SADE=SCDE=4.在RtAOF和RtCOF中,AO=CO=23,OF=2,AF=CF=4,AEF和CEF是直角三角形,SAEF=SCEF=4.四边形ABCD为菱形,AB=BC=CD=DA
3、=4,SABCD=83.又AF=CF=AB=CB=4,FB=22,SAFB=SCFB=27.多面体ABCDEF的表面积为42+42+272+83=16+47+83. 方法技巧 证明线面平行的常用方法:利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两条直线平行.利用面面平行的性质,即两个平面平行,在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.分类透析二证明垂直关系例2 如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,BAD=60.(
4、1)证明:PBBC.(2)若平面PAD底面ABCD,E为线段PD上的点,且PE=2ED,求三棱锥P-ABE的体积.分析 (1)设AD的中点为O,通过证线面垂直得到线线垂直;(2)进行等价转化,寻找三棱锥P-ABE的体积与三棱锥B-PAD的体积间的关系,然后求出三棱锥B-PAD的体积,最后得到三棱锥P-ABE的体积.解析 (1)如图,设AD的中点为O,连接PO,BO.PA=PD,POAD.四边形ABCD为菱形,BAD=60,OBAD,OPOB=O,AD平面POB.又ADBC,BC平面POB.PB平面POB,PBBC.(2)连接BD,由题知VP-ABE=VB-PAE=23VB-PAD. 平面PAD
5、底面ABCD,OP,OA,OB两两垂直且OP=OB=3.则VB-PAD=1312233=1,故VP-ABE=23VB-PAD=23.方法技巧 有关空间中垂直关系的证明:主要用到线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化,再结合题意进行推理或证明完成,有些题目需要添加一些辅助线.分类透析三平行关系和垂直关系的综合应用例3 如图,在三棱锥P-ABC中,AB平面PAC,APC=90,E是AB的中点,M是CE的中点,点N在PB上,且4PN=PB.证明:(1)平面PCE平面PAB;(2)MN平面PAC.分析 先证明直线PC平面PAB,再证平面PCE平面PAB;(2)设AE的中点为Q,连接MQ,NQ,证明
6、平面MNQ平面PAC,从而MN平面PAC.解析 (1)AB平面PAC,PC平面PAC,ABPC.APC=90,APPC.又AP平面PAB,AB平面PAB,APAB=A,PC平面PAB.PC平面PCE,平面PCE平面PAB.(2)取AE的中点Q,连接NQ,MQ.M是CE的中点,MQAC.PB=4PN,AB=4AQ,QNAP.又APAC=A,AP平面APC,AC平面APC,QNQM=Q,QN平面MNQ,QM平面MNQ,平面MNQ平面PAC.MN平面MNQ,MN平面PAC.例4 如图,ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC平面ABC,AB=2,BE=3.(1)证明:平面
7、ACD平面ADE.(2)记AC=x,V(x)表示三棱锥A-CBE的体积,求V(x)的最大值.分析 (1)要证平面ACD平面ADE,只需证明DE平面ADC,由已知可证明DCBC,BCAC,从而得证;(2)先利用体积公式求出V(x)关于x的解析式,再利用不等式求出最值.解析 (1)四边形DCBE为平行四边形,CDBE,BCDE.DC平面ABC,BC平面ABC,DCBC.AB是圆O的直径,BCAC.又DCAC=C,BC平面ADC.DEBC,DE平面ADC.又DE平面ADE,平面ACD平面ADE.(2)在RtABC中,BC=AB2-AC2=4-x2(0x2),SABC=12ACBC=12x4-x2,又
8、BE=3,V(x)=VE-ABC=13SABCBE=36x4-x2(0x2).若V(x)取得最大值,则x4-x2=x2(4-x2)取得最大值.x2(4-x2)x2+4-x222=4,当且仅当x2=4-x2,即x=2时,“=”成立,故V(x)的最大值为33.方法技巧 立体几何中最值问题的求解策略主要有:(1)转化为函数的最值问题.解有些立体几何的最值问题可先引入线参数或角参数,再建立关于这些变量的函数关系,转化为函数的最值问题来解决.(2)利用重要不等式求最值.1.(2018年全国卷,文19改编)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明
9、:PO平面ABC.(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求VC-POMVP-ABMO.解析 (1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.如图,连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC,OBAC=O知,PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45,所以OM=253,CH=OCMCsinACBOM=455.所
10、以VC-POM=13SCOMPO=1312253455PO=49PO,VP-ABMO=13122222-12253455PO=89PO,所以VC-POMVP-ABMO=12.2.(2018年全国卷,文19改编)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:CM平面AMD.(2)设P是AM的中点,求证:MC平面PDB.解析 (1)平面ABCD半圆面CMD,AD半圆面CMD,AD平面MCD.CM在平面MCD内,ADCM.又M是半圆弧CD上异于C,D的点,CMMD.又ADMD=D,CM平面AMD.(2)连接AC与BD交于点O,连接PO.在矩形ABCD中,O
11、是AC的中点,P是AM的中点,OPMC.OP平面PDB,MC平面PDB,MC平面PDB.3.(2017年全国卷,文18改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PCD平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求AB的长度.解析 (1)由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故APCD.因为APPD=P,所以CD平面PAD.又CD平面PCD,所以平面PCD平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,ABAD=A,可得PE平面ABC
12、D.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而AB=2.1.(2018年湖北省八校高三第二次联考测试)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PA=AB=BC=4,ABC=90,PC=43,D为线段AC的中点,E是线段PC上一动点.(1)当DEAC时,求证:PA平面EDB.(2)当BDE的面积最小时,求三棱锥E-BCD的体积.解析 (1)在RtABC中,AC=42.在PAC中,由PA2+AC2=PC2知,PAAC,DEAC,PADE.又PA平面EDB,PA平面EDB.(2)在等腰直
13、角ABC中,由D为AC的中点知,DBAC.PAAC,PAAB,ABAC=A,PA平面ABC.DB平面ABC,PADB.又DBAC,PAAC=A,DB平面PAC.DE平面PAC,DEDB, 即EBD为直角三角形,当DE最小时,BDE的面积最小,过点D作PC的垂线,当E为垂足时,DE最小,为263,此时,EC=(22)2-2632=433,VE-BCD=13SBDEEC=131222263433=169.2.(2018年辽宁大连高三上学期期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AB=BC.证明:(1)BC1平面A1CD.(2)平面A1EC平面ACC1A1.解析
14、 (1)如图,连接AC1,交A1C于点O,连接DO,则O是AC1的中点.因为D是AB的中点,所以ODBC1. 因为OD平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD. (2)取AC的中点F,连接EO,OF,FB,因为O是AC1的中点,所以OFAA1且OF=12AA1. 显然BEAA1,且BE=12AA1,所以OFBE且OF=BE.则四边形BEOF是平行四边形,所以EOBF.因为AB=BC,所以BFAC.又BFCC1,ACCC1=C,所以直线BF平面ACC1A1. 因为EOBF,所以EO平面ACC1A1. 因为EO平面A1EC,所以平面A1EC平面ACC1A1.3.(四川省德阳市201
15、8届高三二诊考试)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PD=AD=2,点E、F分别为AB、PD的中点.(1)求证:直线AF平面PEC;(2)求点A到平面PEC的距离.解析 (1)取PC的中点Q,连接EQ,FQ,由题意知,FQDC且FQ=12CD,AECD且AE=12CD,故AEFQ且AE=FQ,所以四边形AEQF为平行四边形.所以AFEQ.又EQ平面PEC,AF平面PEC,所以AF平面PEC.(2)连接AC,设点A到平面PEC的距离为d.由题意知在EBC中,EC=EB2+BC2-2EBBCcosEBC=1+4+21212=7,在PDE中,PE=PD
16、2+DE2=7,在PDC中,PC=PD2+CD2=22,故EQPC,EQ=AF=5,SPEC=12225=10,SAEC=1213=32,所以由VA-PEC=VP-AEC,得1310d=13322,解得d=3010.4.(山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试)在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面SAB平面ABCD,平面SAD平面ABCD,且SA=2AD=3AB.(1)证明:SA平面ABCD;(2)若E为SC的中点,三棱锥E-BCD的体积为89,求四棱锥S-ABCD外接球的表面积.解析 (1)由底面ABCD为矩形,得BCAB,又平面SAB平面ABCD,平面SAB平面ABCD=AB,BC平面ABCD,所以BC平面SAB,所以BCSA.同理可得CDSA.又BCCD=C,BC平面ABCD,CD平面ABCD,所以SA平面ABCD.(2)设SA=6a,则AB=2a,AD=3a.VE-BCD=13SBCDh=1312BCCD12SA=13122a3a(3a)=3a3.又VE-BCD=89,所以3a3=89,解得a=23.四棱锥S-ABCD的外接球是以AB,AD,AS为棱的长方体的外接球,设其半径为R,则2R=AB2+AD2+AS2=7a=143,即R=73,所以四棱锥S-ABCD外接球的表面积为4R2=1969.