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1、考查角度2不等式选讲分类透析一解不等式与证明不等式结合例1 (吉大附中2018届第四次模拟)已知函数f(x)=|x-a|.(1)当a=-2时,解不等式f(x)16-|2x-1|.(2)若关于x的不等式f(x)1的解集为0,2,求证:f(x)+f(x+2)2a.分析 (1)把a=-2代入不等式,根据绝对值不等式的解法,即可求出不等式的解集.(2)通过解绝对值不等式,结合不等式的解集确定a的值;根据绝对值不等式的解法即可证明.解析 (1)当a=-2时,不等式为|x+2|+|2x-1|16.当x-2时,原不等式可化为-x-2-2x+116,解得x-173;当-2x12时,原不等式可化为x+2-2x+
2、116,解得x-13,不满足,舍去;当x12时,原不等式可化为x+2+2x-116,解得x5.综上,原不等式的解集为x|x-173或x5.(2)由f(x)1即|x-a|1,解得a-1xa+1.因为f(x)1的解集是0,2,所以a-1=0,a+1=2,解得a=1,从而f(x)=|x-1|.于是证明f(x)+f(x+2)2,即证|x-1|+|x+1|2.因为|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|1-x+x+1|=2,所以|x-1|+|x+1|2,即f(x)+f(x+2)2a,证毕.方法技巧 绝对值不等式的常见解法:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解
3、,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.分类透析二解不等式与求参数范围例2 (福建省百校2018届高三数学冲刺题)已知函数f(x)=|x-a|-|x-1|.(1)当a=2时,求不等式00及f(x)1,求交集可得不等式00,得|x-2|x-1|,则|x-2|2|x-1|2,即x2-4x+4x2-2x+1,解得x32.综上,不等式0f(x)1的解集为-,32.(2)f(x)=|x-a|-|x-1|x-a-(x-1)|=|a-1|,|a-1|a2-3.当a1时,a-1a2-3,即a2-a-20,a2;当a1时,1-aa2-3,即a2+a-40,a-1+172
4、.综上,a的取值范围为-,-1+1722,+).方法技巧 不等式选讲近年来多以考查绝对值不等式为主,要能够对参数熟练进行分类讨论或者运用绝对值不等式的几何意义进行求解.当不等式两侧都含有绝对值时,对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论,减少计算量.恒成立问题的解决方法:(1)f(x)m恒成立,须有f(x)maxm恒成立,须有f(x)minm;(3)不等式的解集为R,即不等式恒成立;(4)不等式的解集为空集,即不等式无解.分类透析三解不等式与探索性问题例3 (江西师大附中2018届高三测试题)已知函数f(x)=x+4a+x-1b,其中a,b为正实数.(1)若a=b=1,求不等式f(x)6的解集.(
5、2)若f(x)的最小值为1,问是否存在正实数a,b,使得不等式a+4b16成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.分析 (1)把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求;(2)利用绝对值三角不等式得到f(x)的最小值,再结合均值不等式即可得到结果.解析 (1)当a=b=1时,f(x)=|x+4|+|x-1|,不等式f(x)6等价于x-4,-(x+4)-(x-1)6或-4x32的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)2x成立,求a的取值范围.解析 (1)当a=2时,f(x)=|2x+1|-|2x-1|,即f(x)=-2,x-12,4x,
6、-12x32的解集为x|x38.(2)当x(0,1)时,|2x+1|-|ax-1|2x成立等价于当x(0,1)时,|ax-1|1成立.若a0,则当x(0,1)时,|ax-1|1,所以不等式|ax-1|0,|ax-1|1的解集为0x2a,所以2a1,故08-|2x-2|的解集为M.(1)求M.(2)设a,bM,证明:f(ab)f(2a)-f(-2b).解析 (1)将f(x)=|x+4|代入不等式整理得|x+4|+|2x-2|8.当x-4时,不等式转化为-x-4-2x+28,解得x-103,所以此时x-4;当-4x8,解得x-2,所以此时-4x8,解得x2,所以此时x2.综上,M=x|x2.(2)
7、因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|2a+4+2b-4|=|2a+2b|,所以要证f(ab)f(2a)-f(-2b),只需证|ab+4|2a+2b|,即证(ab+4)2(2a+2b)2,即证a2b2+8ab+164a2+8ab+4b2,即证a2b2-4a2-4b2+160,即证(a2-4)(b2-4)0.因为a,bM,所以a24,b24,所以(a2-4)(b2-4)0成立,所以原不等式成立.3.(2017年全国卷,文23改编)已知a0,b0,a2+b2=a+b.证明:(1)(a+b)22(a2+b2);(2)(a+1)(b+1)4.解析 (1)因为(a+b)2-2(a2+
8、b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)20,所以(a+b)22(a2+b2).(2)由(1)及a2+b2=a+b得a+b2,因为ab,b0,所以00),求4a+1b的取值范围.解析 (1)由f(x)1,即|2x+1|1-12x+11,解得-1x0,故不等式的解集为x|-1x0.(2)g(x)=f(x)+f(x-1)=|2x+1|+|2x-1|2x+1-(2x-1)|=2,a+b=2(a,b0),4a+1b=12(a+b)4a+1b=125+4ba+ab125+24baab=92,当且仅当4ba=aba=2b,即a=43,b=23时等号成立.综上,4a+1b的取值范围为92,+.3.(山西省太
9、原市2018届高三模拟题)设函数f(x)=|x+2|+|x-1|.(1)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)+ax-10的解集为R,求实数a的取值范围.解析 (1)函数f(x)=|x+2|+|x-1|x+2-(x-1)|=3,当且仅当(x+2)(x-1)0时,等号成立.函数f(x)=|x+2|+|x-1|的最小值为3,此时x的取值范围为x|-2x1.(2)当不等式f(x)+ax-10的解集为R时,函数f(x)-ax+1恒成立,即f(x)的图象恒位于直线y=-ax+1的上方.函数f(x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1,x1,而函数y=-ax+1表示过
10、点(0,1),斜率为-a的一条直线.如图所示,当直线y=-ax+1过点A(1,3)时,3=-a+1,a=-2;当直线y=-ax+1过点B(-2,3)时,3=2a+1,a=1.由数形结合可得a的取值范围为(-2,1).4.(湖北师大第一附属中学2018届高三5月押题)已知函数f(x)=|2x-1|-a(aR).(1)若f(x)在-1,2上的最大值是最小值的2倍,解不等式f(x)5;(2)若存在实数x使得f(x)12f(x+1)成立,求a的取值范围.解析 (1)x-1,2,f(x)min=f12=-a,f(x)max=f(-1)=f(2)=3-a,3-a=-2a,解得a=-3.由不等式f(x)5,即|2x-1|2,解得x32或x-12,故不等式f(x)5的解集为x|x32或x-12.(2)由f(x)|4x-2|-|2x+1|,令g(x)=|4x-2|-|2x+1|,问题转化为ag(x)min.又g(x)=-2x+3,x-12,-6x+1,-12x-2.实数a的取值范围为(-2,+).