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1、考查角度1用导数解决函数的单调性、极值与最值问题分类透析一求函数的单调区间例1 已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-43处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.分析 (1)先求出函数的导数,然后把x=-43代入可确定a的值;(2)先求出g(x)的函数解析式,再求导数,最后利用导数求单调性的方法求出单调递减区间.解析 (1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-43处取得极值,f-43=0,即3a169+2-43=16a3-83=0,解得a=12.(2)由(1)得g(x)=12x3+x2ex,故g(x)=32x2
2、+2xex+12x3+x2ex=12x3+52x2+2xex=12x(x+1)(x+4)ex.令g(x)0,得x(x+1)(x+4)0,解得-1x0或x0,h(x)=1x-ax-2.若函数h(x)在(0,+)上存在单调递减区间,则当x0时,1x-ax-21x2-2x有解.设G(x)=1x2-2x,x0,aG(x)min.又G(x)=1x-12-1,G(x)min=-1.a-1.即实数a的取值范围是(-1,+).(2)h(x)=ln x-12ax2-2x在1,4上单调递减,当x1,4时,h(x)=1x-ax-20恒成立,则a1x2-2x恒成立.设G(x)=1x2-2x,x1,4,aG(x)max
3、.又G(x)=1x-12-1,x1,4,G(x)max=-716(此时x=4),a-716.故实数a的取值范围是-716,+.方法技巧 1.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f(x)0(或f(x)0),x(a,b)恒成立,求出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值范围是f(x)不恒等于0的参数的取值范围.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上不是单调函数,则问题转化为f(x)=0在(a,b)上有解.分类透析三已知函数求极值(点)例3 已知函数f(x)=x-1+aex(aR,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴
4、,求a的值;(2)求函数f(x)的极值.分析 运用导数的几何意义求出参数的值,求带有参数的函数的极值时,要注意分类讨论.解析 (1)由f(x)=x-1+aex,得f(x)=1-aex.又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,得f(1)=0,即1-ae=0,解得a=e.(2)f(x)=1-aex,当a0时,f(x)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,即x=ln a,当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f
5、(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.方法技巧 函数极值的两类热点问题(1)由函数极值求参数的值或取值范围.已知函数极值,利用导数的几何意义求参数的值,利用极值点的定义求参数的取值范围.(2)求函数f(x)的极值这类问题的一般解题步骤:确定函数的定义域;求导数f(x);解方程f(x)=0,求出在函数定义域内方程的所有根;列表检验f(x)在f(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.分类透析四利用导数求函数的最值例4 已
6、知函数f(x)=ln x-ax(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0时,求函数f(x)在1,2上的最小值.分析 (1)已知函数的解析式求单调区间,实质上是求导数f(x)0,f(x)0),当a0时,f(x)=1x-a0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+).当a0时,令f(x)=1x-a=0,可得x=1a;当0x0;当x1a时,f(x)=1-axx0时,函数f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+.(2)当1a1,即a1时,函数f(x)在区间1,2上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.当1a2,即0a12时,函数f(x)在区间1,2上是增
7、函数,所以f(x)的最小值是f(1)=-a.当11a2,即12a1时,函数f(x)在1,1a上是增函数,在1a,2上是减函数.又f(2)-f(1)=ln 2-a,所以当12aln 2时,最小值是f(1)=-a;当ln 2a1时,最小值为f(2)=ln 2-2a.综上可知当0ax,求a的取值范围.解析 (1)当a=1时,f(x)=x2-ln x-x,则f(x)=(2x+1)(x-1)x.当x(0,1)时,f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)=0.(2)由f(x)x,得f(x)-x=x2-ln x-(a+1)x0.由于x0,所以f(x)x等价于x-lnxxa+1.令g(x)=x-lnxx,则
8、g(x)=x2-1+lnxx2.当x(0,1)时,g(x)0.故g(x)的最小值为g(1)=1.故a+11,解得a0时,解不等式f(x)0;(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在t,t+1上有解.解析 (1)因为ex0,(ax2+x)ex0,所以ax2+x0.又因为a0,所以不等式化为xx+1a0.所以不等式f(x)0的解集为-1a,0.(2)当a=0时,方程为xex=x+2,由于ex0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于ex-2x-1=0.令h(x)=ex-2x-1,则h(x)=ex+2x2.因为h(x)0对于x(-,0)(0,+)恒成立,所以h(x)在(-,0)
9、和(0,+)内是单调递增函数.又h(1)=e-30,h(-3)=e-3-130,所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根且实数根分别在区间1,2和-3,-2上,所以整数t的所有值为-3,1.3.(2016年天津卷,文20改编)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f23.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=f(x)-x3ex,若函数g(x)在-3,2上单调递增,求实数c的取值范围.解析 (1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f(x)=3x2+2ax-1.当x=23时,得a=f23=3232+2a23-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=
10、x3-x2-x+c,则f(x)=3x2-2x-1=3x+13(x-1).当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,-13-13-13,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是-,-13和(1,+),单调递减区间是-13,1.(3)函数g(x)=f(x)-x3ex=(-x2-x+c)ex,则g(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex.因为函数g(x)在区间-3,2上单调递增,所以h(x)=-x2-3x+c-10在区间-3,2上恒成立.又h(x)min=h(2),所以h(2)0,解得c11,所以c的取值范围
11、是11,+).1.(孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a0).(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与曲线y=f(x)有三个不同的交点,求m的取值范围.解析 (1)f(x)=3x2-3a.当a0,f(x)在R上单调递增.当a0时,f(x)=3(x+a)(x-a).x(-,-a)-a(-a,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值f(x)在(-,-a)和(a,+)上单调递增,在(-a,a)上单调递减.(2)f(x)在x=-1处取得极值,f(-1)=0.3-3a=0,a=1,f(x)=x3-3x-1,
12、f(x)极大值=f(-1)=1,f(x)极小值=f(1)=-3.直线y=m与曲线y=f(x)有三个交点,f(x)极小值mf(x)极大值,-3m1,m的取值范围是(-3,1).2.(河北省廊坊市第八高级中学2018届高三模拟试题)已知函数f(x)=xlnxx-1.(1)求函数f(x)的图象在x=2处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间.解析 (1)因为x=2,所以切点为(2,2ln 2).因为f(x)=x-1-lnx(x-1)2,所以切线的斜率为f(2)=1-ln 2,所以所求的切线方程为y-2ln 2=(1-ln 2)(x-2),即y=(1-ln 2)x+4ln 2-2.(2)f(x)的
13、定义域为(0,1)(1,+),由(1)知f(x)=x-1-lnx(x-1)2.记g(x)=x-1-ln x,则g(x)=1-1x=x-1x.当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)在(1,+)上是增函数.所以g(x)在(0,+)上的最小值为g(1)=0,所以f(x)0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+),无单调递减区间.3.(天水市一中2015级20172018学年第二次模拟考试)已知函数f(x)=ex-12x2+ax.(1)当a-1时,试判断函数f(x)的单调性;(2)若a0时,g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递增;当x0时,g(x)-1,所以1+a0,即f
14、(x)0,所以函数f(x)在R上单调递増.(2)由(1)知f(x)在1,+)上单调递増,因为a1-e,所以f(1)=e-1+a1,则h(x)=x(1-ex)0恒成立,所以函数h(x)在(1,+)上单调递减,所以h(x)e(1-1)+1212=12,即当x1,+)时,f(x)min0;当x(1,+)时,f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(2)令g(x)=ex-1+e1-x+k,则g(x)=ex-1-e1-x.当x(0,1)时,g(x)0,g(x)为增函数.所以g(x)min=g(1)=2+k.由(1)得f(x)max=f(1)=1,若关于x的方程f(x)=ex-1+e1-x+k有实数解,则g(x)minf(x)max,即2+k1,解得k-1.所以k的取值范围为(-,-1.