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1、第10讲函数的图像1.描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:首先:确定函数的定义域;化简函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点).最后:描点,连线.2.图像变换变换类型变换前变换方法变换后平移变换y=f(x)的图像a0,右移a个单位;a0,上移b个单位;b0且a1)的图像关于直线y=x对称y=的图像伸缩变换y=f(x)的图像a1,横坐标缩短为原来的1a,纵坐标不变;0a1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变;0a1,纵坐标缩短为原来的a,横坐标不变y=的图像翻折变换y=f(x)的图像x轴下方部分翻折到
2、上方,x轴及上方部分不变的图像y轴右侧部分翻折到左侧,原y轴左侧部分去掉、右侧不变的图像题组一常识题1.教材改编 函数y=logax与函数y=log1ax的图像关于直线对称.2.教材改编 函数y=ax与y=1ax的图像关于直线对称.3.教材改编 函数y=log2x与函数y=2x的图像关于直线对称.4.教材改编 函数y=|1-x2|的大致图像是.(填序号)图2-10-1题组二常错题索引:函数图像的几种变换记混;分段函数的图像问题.5.将函数f(x)=(2x+1)2的图像向左平移一个单位后,得到的图像的函数解析式为.6.把函数f(x)=ln x的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图像的函数
3、解析式是.7.设f(x)=2-x,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称,h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到,则h(x)=.8.函数y=eln x+|x-1|的图像是.探究点一作函数的图像例1 分别画出下列函数的图像:(1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2. 总结反思 为了正确地作出函数的图像,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外,还要做到以下两点:(1)熟练掌握几种基本函数的图像,以及形如y=x+1x的函数图像.(2)掌握常用的图像变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作
4、图过程.变式题 分别画出下列函数的图像:(1)y=|x2-4x+3|;(2)y=2x+1x+1;(3)y=10|lg x|.探究点二识图与辨图的常见方法微点1特殊点法例2 函数f(x)=x2-12x的大致图像是()图2-10-2总结反思 使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项,主要注意两点:一是选取的点要具备特殊性和代表性,能排除一些选项;二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案.微点2性质检验法例3 2018抚顺六校期末 函数f(x)=ln(2-|x|)的大致图像为()ABC D图2-10-3总结反思 利用性质识别函数图像是辨图中的主要方法,采用的性质主要是定义域、值域、函数的奇偶
5、性、函数局部的单调性等.当然,对于一些更为复杂的函数图像的判断,还可能同特殊点法结合起来使用.微点3图像变换法例4 已知函数f(x)=logax(0a1),则函数y=f(|x|+1)的图像大致为()AB C D图2-10-4总结反思 通过图像变换识别函数图像要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图像(如指数函数、对数函数等图像);二是了解常见的一些变换形式,如平移变换、翻折变换.应用演练1.【微点3】若函数y=f(x)的图像如图2-10-5所示,则函数y=-f(x+1)的图像大致为()图2-10-5A B CD图2-10-62.【微点1】2018西宁二模 函数f(x)=lnx-1x的图像大致为()
6、A B CD图2-10-73.【微点2】2018南阳一中月考 函数f(x)=log2|2x-1|的图像大致是()AB C D图2-10-84.【微点1】函数y=x-1xsin x的图像大致是()图2-10-9探究点三以函数图像为背景的问题微点1研究函数的性质例5 2018信阳高级中学月考 已知某函数的图像如图2-10-10所示,则图像所对应的函数可能是()图2-10-10A.y=x2|x|B.y=2|x|-2C.y=e|x|-|x|D.y=2|x|-x2总结反思 一般根据图像观察函数性质有以下几方面:一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图像是否关于原点或y轴对
7、称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图像上升与下降的情况,确定单调性.微点2求不等式的解集例6 已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=cos x,x0,12,2x-1,x12,+,则不等式f(x-1)12的解集为()A.14,2343,74B.-34,-1314,23C.13,3443,74D.-34,-1313,34总结反思 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图像可作出时,常将不等式问题转化为两函数图像的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.微点3确定方程根的个数例7 2018宿州质检 已知函数f(x)=2x2+4x+1,x1,若互不相等的实数p,q,r
8、满足f(p)=f(q)=f(r),则2p+2q+2r的取值范围是()A.(8,16)B.(9,17)C.(9,16)D.172,352(2)2018厦门质检 已知函数f(x)=|log2x|,0x2,log2(4-x),2x4,若f(a)fa+12,则a的取值范围是()A.0,122,72B.0,1274,72C.0,17-142,72D.0,17-1474,72总结反思 当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图像确定参数的取值范围.应用演练1.【微点1】函数f(x)的部分图像如图2-10-11所示,则f(x)的解析式可以是()图2-10-
9、11A.f(x)=x2(x2-2)B.f(x)=xcos x+C.f(x)=xsin xD.f(x)=x2+cos x-12.【微点4】2018北京四中二模 已知不等式x-1|m-2x|在0,2上恒成立,且函数f(x)=ex-mx在(3,+)上单调递增,则实数m的取值范围为()A.(-,2)(5,+)B.(-,2)(5,e3C.(-,2)(5,e2D.(-,1)(5,e33.【微点3】已知函数f(x)=-x-4,x0,x3,x0,函数g(x)=ln(x+2),则方程f(x)=g(x)的解的个数是()A.1B.2C.3D.44.【微点2】已知函数f(x)=2x,x1,ln(x-1),10且a1)
10、f(ax)af(x)y=|f(x)|y=f(|x|)对点演练1.y=0解析 y=log1ax=-logax,故两个函数图像关于x轴,即直线y=0对称.2.x=0解析 y=1ax=a-x,故两个函数的图像关于y轴,即直线x=0对称.3.y=x解析 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线y=x对称.4.解析 将y=|1-x2|两边平方,得y2=|1-x2|(y0),即x2+y2=1(y0)或x2-y2=1(y0),所以正确.5.y=(2x+3)2解析 得到的是y=2(x+1)+12=(2x+3)2的图像.6.y=ln12x解析 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln12x.7.-log
11、2(x-1)解析 与f(x)的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图像右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图像.8.解析 y=1,0x1,2x-1,x1,其图像如图所示.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)利用图像的平移和翻折作图;(2)利用图像的平移作图;(3)利用偶函数的关系作图,先作出x0时的图像,再关于y轴对称作出另一部分的图像.解:(1)首先作出y=lg x的图像,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像,再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图像,如图所示(实线部分).(2)将y
12、=2x的图像向左平移1个单位,得到y=2x+1的图像,再将所得图像向下平移1个单位得到y=2x+1-1的图像,如图所示.(3)y=x2-|x|-2=x2-x-2,x0,x2+x-2,x0,其图像如图所示. 变式题解:(1)先画出函数y=x2-4x+3的图像,再将其x轴下方的图像翻折到x轴上方,如图所示. (2)y=2x+1x+1=2-1x+1的图像可由y=-1x的图像先向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图所示.(3)y=10|lg x|=x,x1,1x,0x0,解得-2x2,函数f(x)=ln(2-|x|)的定义域为(-2,2),关于原点对称.又f(-x)=ln(2-|-x|)=ln
13、(2-|x|)=f(x),函数f(x)=ln(2-|x|)在定义域上为偶函数,排除C和D.当0x0,得-1x1,故排除选项A,D.f(2)=ln2-12=ln320,故排除选项C.故选B.3.C解析 函数f(x)=log2(2x-1),x0,log2(1-2x),x0时,函数为增函数,当x0时,函数为减函数,可排除A,B.又易知x0时,f(x)0,所以B错;当x0时,函数图像与x轴有两个交点,而对于C,y=ex-x0恒成立,所以C错;对于D,y=2x-x2=0有两个解,所以满足题意.所以选D.例6思路点拨 先求出当x0时不等式f(x)12的解集,然后利用函数为偶函数求出整个定义域上不等式f(x
14、)12的解集,最后再求出不等式f(x-1)12的解集.A解析 当x0,12时,由f(x)=cos x=12,得x=3,解得x=13;当x12,+时,由f(x)=2x-1=12,解得x=34.画出当x0时函数f(x)的图像如图所示,结合图像可得,当x0时,不等式f(x)12的解集为x13x34.因为函数f(x)为偶函数,所以当x0时,-x0,f(-x)=2x2-4x+1,故g(x)=-f(-x)=-2x2+4x-1;当x0,f(-x)=2e-x=2ex,故g(x)=-f(-x)=-2ex. 又g(0)=-f(0)=-2,g(x)=-f(-x)=-2x2+4x-1,x0,-2ex,x0.在同一坐标
15、系内画出函数f(x),g(x)的图像,实线为f(x)的图像,虚线为g(x)的图像,可得两函数的图像有4个交点,故方程f(x)=g(x)的根的个数为4.故选A.例8思路点拨 (1)作出函数图像,可以得出2p+2q=1,从而再得出r的范围即可;(2)分别作出y=f(x)和y=fx+12的图像,找到两函数图像交点的横坐标即可.(1)B(2)D解析 (1)不妨设pqr,f(x)的图像如图所示.令f(p)=f(q)=f(r)=m,则|2p+1-1|=|2q+1-1|=4-r=m,故2p+1-1=-2q+1+1且0m1,所以2p+1+2q+1=2,即2p+2q=1,且3r4,故2p+2q+2r=1+2r(
16、9,17),故选B.(2)画出函数y=f(x)的图像(图中右线),则函数y=f(x)的图像向左平移12个单位长度,得到函数y=fx+12的图像(图中左线).设两图像交于点A,B,且横坐标分别为a1,a2,由图像可得,满足f(a)fa+12的实数a的取值范围为(0,a1a2,72,且12a11,32a22.对于a1,由-log2a1=log2a1+12,解得1a1=a1+12,所以2a12+a1-2=0,解得a1=-1+174或a1=-1-174(舍去).对于a2,由log2a2=log24-a2+12,解得a2=74.综上可得,实数a的取值范围为0,-1+17474,72.故选D.应用演练1.
17、C解析 由函数f(x)的部分图像可知,函数f(x)是偶函数,故排除B;当x=时,f()=0,故排除D;当x=1时,对于A选项,f(1)=1-20,故排除A.因此选C.2.B解析 不等式x-1|m-2x|,即12(x-1)x-m2在0,2上恒成立,令g(x)=x-m2,h(x)=12(x-1),由图像可知,m252,即m(-,2)(5,+).又f(x)=ex-mx在(3,+)上单调递增,故f(x)=ex-m0在(3,+)上恒成立,me3.综上,m(-,2)(5,e3,故选B.3.B解析 作出函数f(x)与g(x)的图像(图略),由图像可知,f(x)与g(x)的图像有2个交点,故方程f(x)=g(
18、x)有2个解,故选B.4.0,52解析 设g(x)=5-mx,则函数g(x)的图像是过点(0,5)的直线.在同一坐标系内画出函数f(x)和g(x)的图像,如图所示.不等式f(x)5-mx恒成立,函数f(x)的图像上的任意一点不在函数g(x)的图像的上方.结合图像可得:当m0时,需满足g(2)=5-2m0,解得00.故选B.例2配合例4使用 将函数f(x)=e1-x的图像向左平移1个单位得到曲线C1,而且曲线C1与函数g(x)的图像关于y轴对称,则g(x)的解析式为()A.g(x)=e2-xB.g(x)=ex-2C.g(x)=exD.g(x)=e-x解析 C将函数f(x)=e1-x的图像向左平移
19、1个单位,得到函数y=e1-(x+1)=e-x的图像,即曲线C1:y=e-x.曲线C1与函数g(x)的图像关于y轴对称,g(x)=ex,故选C.例3配合例6使用 已知定义在R上的函数f(x)在(-,-4)上是减函数,若g(x)=f(x-4)是奇函数,且g(4)=0,则不等式f(x)0的解集是()A.(-,-8(-4,0B.-8,-4)0,+)C.-8,-40,+)D.-8,0解析 Cg(x)=f(x-4)是奇函数,函数g(x)=f(x-4)的图像的对称中心为(0,0),函数f(x)的图像的对称中心为(-4,0).又函数f(x)在(-,-4)上是减函数,函数f(x)在(-4,+)上为减函数,且f
20、(-4)=g(0)=0.g(4)=f(0)=0,f(-8)=0.画出函数f(x)图像的草图(如图),结合图像可得,f(x)0的解集是-8,-40,+).故选C.例4配合例7使用 已知函数f(x)=log12(1-x),x1,3x-1,x1,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,2 D.(0,+)解析 A由f(x)-a=0得a=f(x).画出函数y=f(x)的图像如图所示,且当x3时,函数y=f(x)的图像以直线y=1为渐近线.结合图像可得,当0a1时,函数y=f(x)的图像与直线y=a有三个不同的交点,故若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是(0,1).故选A收集整理