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1、第19讲三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中kZ)函数y=sin xy=cos xy=tan x图像定义域RRxxR,且xk+2,kZ值域周期性22奇偶性奇函数单调性2k-2,2k+2上为增函数;上为减函数2k,2k+上为减函数;上为增函数k-2,k+2上为增函数对称中心k+2,0k2,0对称轴x=k+2无常用结论1.函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期T=2|,函数y=tan(x+)的最小正周期T=|.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.正切曲线相邻两对称中心之
2、间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin x或y=Atan x的形式,偶函数一般可化为y=Acos x+b的形式.题组一常识题1.教材改编 函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.教材改编 若函数y=Asin x+1(A0)的最大值是3,则它的最小值是.3.教材改编 函数y=2cos x在-,0上是函数,在0,上是函数.4.教材改编 函数f(x)=tanx-1的定义域为.题组二常错题索引:忽视y=Asin x(或y=Acos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6
3、.函数y=cos xtan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为 .8.函数y=tanx+4图像的对称中心是.探究点一三角函数的定义域例1 (1)函数f(x)=2-log2x+tanx+3的定义域为.(2)函数y=ln(2cos x+1)+sinx的定义域为.总结反思 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图像来求解.变式题 (1)函数y=sinx-cosx的定义域为.(2)函数f(x)=sinx-13+2sinx的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值例2 (1)函数y=2cos 2x-sin x+1的最大值是.(2)
4、2018沧州质检 已知x-4,6,则函数f(x)=2cos xsinx+3-3sin2x+sin xcos x的最大值与最小值之和为.总结反思 求解三角函数的值域(最值)的几种方法:形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,化为y=Asin(x+)+k的形式,再求值域(最值);形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函数,可设t=sin xcos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).变式题 (1)函数f(x)=sinx-4-cosx-4的最大值为()
5、A.2B.2C.22D.22(2)函数y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是.探究点三三角函数性质的有关问题微点1三角函数的周期性例3 (1)在函数y=cos|2x|,y=|cos x|,y=cos2x+6,y=tan2x-4中,最小正周期为的所有函数为()A.B.C.D.(2)若函数f(x)=1+asinax+6(a0)的最大值为3,则f(x)的最小正周期为.总结反思 (1)公式法:函数y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的最小正周期T=2|,y=Atan(x+)的最小正周期T=|;(2)图像法:利用三角函数图像的特征求周期.微点2三角函数的对称性例4 (1)201
6、8广西贺州联考 若函数f(x)与g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与f(x)=12x2-x互为同轴函数的是()A.g(x)=cos(2x-1)B.g(x)=sin xC.g(x)=tan xD.g(x)=cos x(2)2018重庆合川区三模 函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的图像关于直线x=3对称,它的最小正周期为,则函数f(x)的图像的一个对称中心是()A.3,0B.12,0C.512,0D.-12,0总结反思 (1)对于函数f(x)=Asin(x+),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判
7、断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图像的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:若函数图像相邻的两条对称轴分别为x=a与x=b,则最小正周期T=2|b-a|;若函数图像相邻的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则最小正周期T=4|b-a|.微点3三角函数的单调性例5 (1)2018乌鲁木齐一检 已知3为函数f(x)=sin(2x+)00,函数f(x)=cosx+3在3,2上单调递增,则的取值范围是()A.23,103B.23,103C.
8、2,103D.2,103总结反思 (1)形如y=Asin(x+)的函数的单调性问题,一般是将x+看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.应用演练1.【微点3】2018西安八校联考 已知函数f(x)=cos(x+)(0bcB.bcaC.acbD.bac3.【微点2】2019九江一中月考 已知函数f(x)=Asinx+6的图像上相邻两个对称中心之间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是()A.x=1B.x=14C.x=23D.x=-14.【微点1】2018上海金山区二模 函数y=3sin2x+3的
9、最小正周期T=.第19讲三角函数的图像与性质考试说明 1.能画出函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间-2,2内的单调性.【课前双基巩固】知识聚焦1.-1,1-1,1R奇函数偶函数2k+2,2k+322k-,2k(k,0)x=k对点演练1.解析 最小正周期T=2=22=.2.-1解析 依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增减解析 由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x在-,0上是增函数
10、,在0,上是减函数.4.4+k,2+k(kZ)解析 由题意知tan x1,所以4+kx2+k(kZ).5.2k-,2k(kZ)解析 函数y=1-2cos x的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,即函数y=cos x的单调递增区间,即为2k-,2k(kZ).6.(-1,1)解析 x2+k(kZ),y=cos xtan x=sin x,y=sin x(-1,1),即函数y=cos xtan x的值域是(-1,1).7.1解析 设t=cos x,则-1t1,所以y=-t2+3t-1=-t-322+54,当t=1时,函数取得最大值1.8.k2-4,0(kZ)解析 由x+4=k2(kZ),
11、得x=k2-4(kZ),所以函数y=tanx+4图像的对称中心为k2-4,0(kZ).【课堂考点探究】例1思路点拨 根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数、正弦函数、余弦函数的性质列出关于x的不等式组求解.(1)x0x4且x6且x76(2)x2kx2k+23,kZ解析 (1)依题意得2-log2x0,x+3k+2,kZ,得0x4且xk+6,kZ,所以函数f(x)的定义域是x00,sinx0,即cosx-12,sinx0,解得2k-23x2k+23,kZ,2kx2k+,kZ,所以2kx2k+23,kZ,所以函数的定义域为x2kx2k+23,kZ.变式题(1)x2k+4x2k+54,kZ(2)x
12、2k-3x0,即sin x-32,结合函数y=sin x的图像(图略),可得函数f(x)的定义域为x2k-3x0)的最大值为1+a,1+a=3,a=2,因此f(x)的最小正周期为2a=.例4思路点拨 (1)函数f(x)的图像的对称轴为直线x=1,逐一验证各选项,可得符合条件的函数;(2)由周期求出=2,再由图像关于直线x=3对称,求得=-6,进而可求得f(x)的图像的对称中心.(1)D(2)B解析 (1)易知f(x)=12x2-x的图像关于直线x=1对称.对于选项A,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=12+k2(kZ);对于选项B,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=12+k(kZ);对于选
13、项C,函数g(x)的图像不存在对称轴;对于选项D,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=k(kZ),当k=1时,其中有一条对称轴为直线x=1,符合题意.故选D.(2)由题意可得2=,=2,f(x)=Asin(2x+).函数f(x)的图像关于直线x=3对称,f3=Asin23+=A,即sin23+=1.|2,=-6,故函数f(x)=Asin2x-6.令2x-6=k,kZ,可得x=k2+12,kZ,故函数f(x)的图像的对称中心为k2+12,0,kZ.结合选项可知, 函数f(x)的图像的一个对称中心是12,0.故选B.例5思路点拨 (1)由条件求出,根据正弦函数的单调性求解;(2)先求出函数f(x)
14、的单调递增区间,由3,2是所求单调递增区间的子集得出的取值范围.(1)C(2)C解析 (1)3为函数f(x)=sin(2x+)02的一个零点,f3=sin23+=0,23+=k(kZ),解得=k-23(kZ).00,2k-43x2k-3,kZ,函数f(x)=cosx+3的单调递增区间为2k-43,2k-3,kZ.f(x)在3,2上单调递增,22k-3,32k-43,kZ,解得6k-44k-23,kZ.由题意知,2-3122,06,2103.应用演练1.A解析 函数f(x)=cos(x+)(0)在x=3处取得最小值,cos3+=-1,3+=+2k,kZ,又0,=23,即f(x)=cosx+23.
15、令-+2kx+232k,kZ,解得-53+2kx-23+2k,kZ,又x0,k=1,f(x)在0,上的单调递增区间是3,故选A.2.C解析 因为函数f(x)=cos x是偶函数,所以c=fln13=f(ln 3).因为0ln 2ln 3ln f(ln 3)f(ln ),即acb.故选C.3.C解析 由题可知,函数的最小正周期T=22=4,所以=24=2.令2x+6=k+2,kZ,解得x=2k+23,kZ,结合选项可知,x=23满足条件.故选C.4.解析 易知T=22=.【备选理由】 例1考查余弦函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域问题;例2考查根据函数在所给区间内无最值求参数范围的问题;例
16、3考查抽象函数比较大小的问题,考查函数的单调性和对称性以及三角函数的知识,是较好的综合题;例4综合考查正弦函数与余弦函数的单调性,并结合充要条件进行考查.例1配合例2使用 已知函数f(x)=1+4cos x-4sin2x,x-4,23,则f(x)的值域为.答案 -4,5解析 f(x)=1+4cos x-4sin2x=1+4cos x-4(1-cos2x)=4cos2x+4cos x-3=4cosx+122-4,因为x-4,23,所以cos x-12,1,所以4cosx+122-4-4,5,故函数f(x)的值域为-4,5.例2配合例2使用 若函数f(x)=sinx+6(0)在区间(,2)内没有最
17、值,则的取值范围是()A.0,11214,23B.0,1613,23C.14,23D.13,23解析 B由正弦函数的单调性可知,函数y=sin x的单调区间为k+2,k+32,kZ.由k+2x+6k+32,kZ,得k+3xk+43,kZ.函数f(x)=sinx+6(0)在区间(,2)内没有最值,函数f(x)在区间(,2)内单调,(,2)k+3,k+43,kZ,即k+3,k+432,kZ,解得k+13k2+23,kZ.由k+13k2+23,kZ,得k0,故0f(cos )B.f(sin )f(cos )C.f(sin )=f(cos )D.以上情况均有可能解析 B已知f(x+1)的图像关于直线x
18、=-1对称,可得到f(x)的图像关于直线x=0对称,故函数f(x)是偶函数.因为,为钝角三角形中的两个锐角,所以+2,所以2-,故得到sin sin2-=cos ,且sin (0,1),cos (0,1).因为函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,故f(sin )f(cos ).故选B.例4配合例5使用 2018四川双流中学一模 “=34”是“函数y=cos 2x与函数y=sin(2x+)在区间0,4上的单调性相同”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 A由题意可得,函数y=cos 2x在区间0,4上单调递减.当=34时,函数y=sin2x+34,x0,4,可得2x+3434,54,函数y=sin2x+34在区间0,4上单调递减,充分性成立;易知当=23时,函数y=sin(2x+)在区间0,4上也单调递减,必要性不成立.“=34”是“函数y=cos 2x与函数y=sin(2x+)在区间0,4上的单调性相同”的充分不必要条件收集整理