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1、1994年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要条件是(A) a，b同时为0，且c0 (B) =c (C) c 2、给出下列两个命题： 设a，b，c都是复数，如果a2+b2c2，则a2+b2c20；设a，b，c都是复数，如果a2+b2c20，则a2+b2c2那么下述说法正确的是 (A)命题正确，命题也正确 (B)命题正确，命题错误 (C)命题错误，命题也错误 (D)命题错误，命题正确3、已知数列an满足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Snn
2、6|的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)84、已知0b1，0a，则下列三数：x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina) (A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xy()2，则点集AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 4设0，则sin(1+cos)的最大值是 5已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则sin= 6已知95个数a1，a2，a3，a95， 每个都只能取+1或1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是 第二试一、(本题满分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，
3、且z4z2=16+20i，设这个方程的两个根、，满足|=2,求|m|的最大值和最小值. 二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，B=60,AC,A的外角平分线交圆O于E证明:(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+IC0都成立的充要条件是(A) a，b同时为0，且c0 (B) =c (C) c 解：asinx+bcosx+c=sin(x+)+c+c，+c故选C2、给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2c2，则a2+b2c20(2)设a，b，
4、c都是复数，如果a2+b2c20，则a2+b2c2那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确 解：正确，错误；理由：a2+b2c2，成立时，a2+b2与c2都是实数，故此时a2+b2c20成立； 当a2+b2c20成立时a2+b2c2是实数，但不能保证a2+b2与c2都是实数，故a2+b2c2不一定成立故选B3、已知数列an满足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Snn6|的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D
5、)8 解：(an+11)=(an1)，即 an1是以为公比的等比数列， an=8()n1+1 Sn=8+n=6+n6()n，6，n7选C4、已知0b1，0a，则下列三数：x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina)的大小关系是 (A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xyz 解：0sinacosalogbcosa0 (sina) (sina) (cosa)即xzy选A5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)( ，) (B)( ，) (C)(0，) (D)( ，)解：设相邻两侧面所成的二面角为，易得大于正n边形的一个内角，当棱锥的高趋于0时，趋于，故选A6、在
6、平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形解：x+y0，xy0时，(一、四象限角平分线之间)：(a+b)x+(ba)y=2ab； x+y0，xy0时，(一、二象限角平分线之间)：(ba)x+(a+b)y=2ab； x+y0，xy0时，(三、四象限角平分线之间)：(ab)x(a+b)y=2ab；x+y0，xy2 x+m(x+)+m=0，(3+m)x=7mx=23m0，即f(t)在，上单调增 x=2y cos(x+2y)=13已知点集A=(x，y)|(x3)2+(y4)2()2，B=(x，y)|
7、(x4)2+(y5)2()2，则点集AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 解：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点 4设00，则y2=4 sin2cos4=22sin2cos2cos22()3 y当tan=时等号成立5已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则sin= 解：12条棱只有三个方向，故只要取如图中AA与平面ABD所成角即可设AA=1，则AC=，AC平面ABD，AC被平面ABD、BDC三等分于是sin=6已知95个数a1，a2，a3，a95， 每个都只能取+1或1两个值之一，那么它们的两两之积
8、的和a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是 解：设有m个+1，(95m)个1则a1+a2+a95=m(95m)=2m95 2(a1a2+a1a3+a94a95)=(a1+a2+a95)2(a12+a22+a952)=(2m95)2950取2m95=11得a1a2+a1a3+a94a95=13为所求最小正值.第二试一、(本题满分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z4z2=16+20i，设这个方程的两个根、，满足|=2,求|m|的最大值和最小值.解：设m=a+bi(a，bR)则=z124z24m=16+20i4a4bi=4(4a)+(5b)i设的平
9、方根为u+vi(u，vR)即(u+vi)2=4(4a)+(5b)i|=2，|2=28，|(4a)+(5b)i|=7，(a4)2+(b5)2=72，即表示复数m的点在圆(a4)2+(b5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+，最小值为7二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。解：由105=357；故不超过105而与105互质的正整数有105(1)(1)(1)=48个。1000=4820+488， 10520=2100.而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86 所求数为2186。三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆
10、O的半径为R,内心为I，B=60,AC,A的外角平分线交圆O于E证明:(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+ICOH=2R设OHI=，则030IO+IA+IC=IO+IH=2R(sin+cos)=2Rsin(+45)又+4575，故IO+IA+ICnk+1即nk+11nk+1则C+ C( C+ C)= CC0这就是说，当nk+1与nk的差大于1时，可用nk+11及nk+1代替nk+1及nk，而其余的数不变此时，m(G)的值变小于是可知，只有当各ni的值相差不超过1时，m(G)才能取得最小值1994=8324+2故当81组中有24个点，2组中有25个点时，m(G)达到最小值m0=81C+2C=812024+22300=168544 取5个点为一小组，按图1染成a、b二色这样的五个小组，如图2，每个小圆表示一个五点小组同组间染色如图1，不同组的点间的连线按图2染成c、d两色这25个点为一组，共得83组染色法相同其中81组去掉1个点及与此点相连的所有线即得一种满足要求的染色