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1、 知识系统整合 规律方法收藏1集合中元素的三大特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性2集合的表示方法集合的表示方法的适用条件：(1)列举法：是对有限集且在元素不太多的情况下或元素个数较多且成一定规律时采用的，元素之间用“，”分隔开(2)描述法：注意集合的代表元素及元素具备的性质3集合间的关系处理集合间的关系时需要注意：(1)涉及某些数集是不等式的解集时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系；(2)注意应用BA的条件时，一定要考虑B和B两种情况；(3)以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想，等价变形思想的灵活运用4子集、全集、补集的概念及交集、并集、补集运算的性质子
2、集、全集、补集的概念实质上是生活中的“部分”“全体”“剩余”的概念在数学中的抽象与反应(1)交集运算的性质AAA；A；ABBA；(AB)CA(BC)；如果AB，则ABA.(2)并集运算的性质AAA；AA；ABBA；(AB)CA(BC)；如果AB，则ABB.(3)补集运算的性质U(UA)A；A(UA)；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)5命题(1)判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题(2)一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假当一个命题改写成“若p，则q”的
3、形式之后，判断这种命题的真假的办法是：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明从集合的观点看，我们建立集合A，B与命题中的p，q之间的一种特殊联系：设集合Ax|p(x)成立，Bx|q(x)成立，就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也使q成立”)，当且仅当AB时满足(3)命题的否定：若p表示命题，则“非p”表示命题的否定如果命题是“若p，则q”，那么该命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论6全称量词、存在量词与全称
4、量词命题、存在量词命题(1)要判定全称量词命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题(3)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称量词命题7充分条件、必要条件、充要条件关于充要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系进行判断 学科思想
5、培优一、集合问题中三个需注意的问题1注意集合中的代表元素集合中元素的表现形式是多种多样的，可以是实数x，实数y，有序数对(x，y)，图形等，我们要仔细观察集合中的代表元素典例1已知集合Ay|yx22x，xR，By|yx26x16，xR，求AB.解Ay|yx22x，xRy|y(x1)21，xRy|y1，By|yx26x16，xRy|y(x3)27，xRy|y7，ABy|y72注意空集的特殊性当BA时，B集合可能为，也可能为非空集合，注意不要漏掉B为空集的情况；另外空集在解集中也非常重要，在题目解答出来后，要检查一下是否漏掉了“空集”这种情况典例2已知集合Ax|x0，Bx|x2xp0，且BA，求实
6、数p的范围解当B时，BA，由(1)24p.当B，且BA时，方程x2xp0存在两个正实根由x1x210，(1)24p0.且x1x2p0，得003注意集合中元素的互异性根据两集合之间的关系进行分类讨论，在求参数取值的过程中，应时刻检验元素的互异性，在确定集合时，尤其是当集合的元素中含有字母时，也要进行检验典例3已知集合M1，t，Nt2t1，若MNM，求t的取值集合解MNM，NM，即t2t1M，若t2t11，即t2t0，解得t0或t1，而当t1时，M中两元素不符合互异性，t0.若t2t1t，即t22t10，解得t1，由知不符合题意综上所述，t的取值集合为0二、集合中的创新题型创新型试题的特点是：通过
7、给出新数学概念或新运算方法，在新的情境下完成某种推理证明或指定要求在一一列举时，我们要做到不重不漏典例4设集合P3,4，Q4,5,6,7，定义PQ(a，b)|aP，bQ，则PQ中元素的个数为_解析在集合P中取一个数作为a的值，有2种可能；在集合Q中取一个数作为b的值，有4种可能列举如下：(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)因此PQ中元素的个数为8.答案8典例5若集合A1，A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的1种分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆则集合Aa，b的不同分拆有_种解
8、析当A1时，A2Aa，b，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时：A1a，A2b或A2a，b；A1b，A2a或A2a，b此时有4种分拆；当A1为双元素集时，A1Aa，b，A2可取A的任何子集，此时有4种分拆综上，共有9种分拆答案9三、充分条件与必要条件的判定1充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)把复杂的条件(结论)化简；(3)尝试从条件推结论，从结论推条件；(4)确定是什么条件2判定充分条件、必要条件常用的方法(1)直接用定义判定；(2)利用集合的关系判定若AB，就是xA则xB
9、，则xA是xB的充分条件，xB是xA的必要条件；若AB，就是xA则xB，且B中至少有一个元素不属于A，则xA是xB的充分不必要条件，xB是xA的必要不充分条件；若AB，就是AB且AB，则xA是xB的充分条件，同时xA是xB的必要条件，即xA是xB的充要条件；若AB，AB，则xA是xB的既不充分也不必要条件(3)利用双箭头的传递判定(或称图像法)由于符号“”“”“”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递判断所要判断的两个条件之间的依存关系典例6已知p：2m0,0n0，即m24n.设方程的两根为x1，x2，则0x11,0x21，x1x2，有0x1x22，且0x1x21.根据根与系数
10、的关系，有解得所以2m0,0n4n，即有qp.反之，取m，n，那么方程变为x2x0，40.此时方程x2mxn0无实根，所以pq.综上所述，p是q的必要不充分条件典例7已知p：xx|2x12，q：xx|2x3，问p是q的什么条件？解令Ax|2x12x|1x3，Bx|2x3AB，p是q的充分不必要条件典例8已知是的充要条件，是的必要条件，同时又是的充要条件，试求与的关系解由已知，所以，因此，所以是的充分条件或是的必要条件四、数学思想方法1数形结合思想集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助维恩图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解典例9设
11、Ax|2x1，Bx|x2axb0已知ABx|x2，ABx|1x3，试求a，b的值解可利用数轴分析解答，如图设想集合B所表示的范围在数轴上移动，根据AB和AB可知集合B必覆盖住数轴上1x3这一部分所以当1x3时，由二次函数yx2axb的图像可知1与3应是方程x2axb0的两根由根与系数的关系可得a(13)2，b(1)33.2分类讨论思想利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题这是因为，其一，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对学生能力的考查；其三，分类讨论问题常
12、与实际问题相联系解分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想典例10已知集合AxR|kx23x20(1)若A，求实数k的取值范围；(2)若A是单元素集合，求k的值及集合A.解(1)若A，即方程kx23x20无解，若k0，方程有一根x，不符合题意；若k0，要使方程kx23x20无解，则98k，故使A的k的取值范围是k.(2)当k0时，由(1)可知A，符合题意；当k0 时，要使方程有两个相等的实根，则98k0，所以k，此时A.综上所述，当k0时，A；当k时，A.3等价转化思想将此问题转化为彼问题来解决是数学中常用的手段，一个
13、数学问题难度较大或过于抽象时可等价转化为较直观或较易解决的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，将复杂的问题简单化，这样有助于问题的解决，此即为等价转化典例11已知全集U(x，y)|xR，yR，集合A(x，y)|xy1，B.求(UB)A.解全集U(x，y)|xR，yR是平面上所有点的集合，集合A是直线xy1上的点的集合，集合B是直线xy1上除去点(1,0)的所有点的集合，而UB表示平面上除了直线xy1上的所有点以外的点和点(1,0)构成的集合，所以(UB)A(1,0)4反证法反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论从逻辑角度看，命
14、题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p，则綈q”为假，从而可以得出“若p，则q”为真，达到证明的目的反证法是高中数学解题的一种基本方法典例12如果a，b，c，d为实数，ab1，cd1，且acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个负数证明假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，则a，b，c，d都为非负数，即a0，b0，c0，d0.因为ab1，cd1，所以(ab)(cd)1，即(acbd)(bcad)1.因为a，b，c，d均为非负数，于是bcad0，故由上式可以知道acbd1，这与已知条件的acbd1矛盾，所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数