《2019-2020学年高中人教B版数学新教材必修第一册学案：第三章 3.1 3.1.2 函数的单调性 第1课时 Word版含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中人教B版数学新教材必修第一册学案：第三章 3.1 3.1.2 函数的单调性 第1课时 Word版含解析.doc（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明(教师独具内容)课程标准：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义教学重点：函数单调性的定义及其应用，函数单调性的证明教学难点：函数单调性的证明.【情境导学】(教师独具内容)下图是某市一天24小时内的气温变化图，从图中你能发现什么？提示：从图像上可以看出04时气温下降，414时气温逐渐上升，1424时气温又逐渐下降学习了本节内容函数的单调性，可以使我们更好地认识图形，并用图形中所揭示的规律与趋势来指导我们的生活与工作【知识导学】知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数yf(x)的定义域为D，且ID：(
2、1)如果对任意x1，x2I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称yf(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)(2)如果对任意x1，x2I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称yf(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)知识点二 函数的单调性和单调区间如果一个函数在I上是增函数或是减函数，就说这个函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)知识点三 函数的最大值和最小值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0D：如果对任意xD，都有f(x)f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对
3、任意xD，都有f(x)f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点【新知拓展】1当函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数时，不能说f(x)在AB上是增(减)函数，如f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是减函数，不能说f(x)在定义域(，0)(0，)上是减函数，事实上，取x111x2，有f(1)11f(1)，不符合减函数的定义2函数的单调性是函数在某个区间上的性质(1)这个区间可以是整个定义域例如，yx在整个定义域(，)上是增函数，yx在整个定义域(，)上是减函数(2)这个区间也可以是
4、定义域的真子集例如，yx2在定义域(，)上不具有单调性，但在(，0上是减函数，在0，)上是增函数(3)有的函数不具有单调性例如，函数y它的定义域为R，但不具有单调性；yx1，xZ，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性3区间端点的写法对于单独的一点，因为它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点例如，yx2的单调递增区间是0，)，也可以记为(0，)，但函数y在(0，)上是减函数，就不能写成y在0，)上为减函数4对最大(小)值定义的理解(1)最值首先是一个函数值，
5、即存在一个自变量x0，使f(x0)等于最值，如f(x)x2(xR)的最大值为0，有f(0)0.(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)，“任意”两字不可省(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图像上最低点的纵坐标1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性()(2)定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2(a，b)，使得x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)在(a，b)上为增
6、函数()(3)若函数f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则函数f(x)在区间AB上也为减函数()(4)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)f(4)()(5)任何函数都有最大值或最小值()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)x的图像如图1所示，从左至右图像是上升的还是下降的：_.在区间_上，随着x的增大，f(x)的值_，在此区间上函数是增函数还是减函数：_.(2)已知函数f(x)2x1的图像如图2所示，从左至右图像是上升的还是下降的：_.在区间_上，随着x的增大，f(x)的值_，在此区间上函数是增函数还是减函数：_
7、.(3)函数yx2的单调递增区间为_，单调递减区间为_(4)函数f(x)x2在0,1上的最大值是_答案(1)上升的(，)增大增函数(2)下降的(，)减小减函数(3)(，00，)(4)1题型一 函数单调性的判断与证明例1用函数单调性的定义证明：(1)函数f(x)2x23x3在上是增函数；(2)函数f(x)在(3，)上是减函数证明(1)设x1，x2是上的任意两个实数，且x10，f(x2)f(x1)(2x3x23)(2x3x13)2x2x3x23x12(x1x2)(x1x2)3(x1x2)2(x1x2)3(x1x2)因为x1x2，所以x1x20，由x1，x2，得x1，x2，则x1x2，所以2(x1x
8、2)3，则2(x1x2)3f(x1)，所以函数f(x)2x23x3在上是增函数(2)设x1，x2是(3，)上的任意两个实数，且x10，f(x2)f(x1).因为x2x10，所以(x2x1)3，x23，即x130，x230，所以f(x2)f(x1)，所以f(x)在(3，)上是减函数条件探究若把本例(2)中的(3，)改为(，3)，试判断函数f(x)的单调性解设x1，x2是(，3)上的任意两个实数，且x10，f(x2)f(x1).因为x2x10，所以(x2x1)0，由x1，x2(，3)，得x13，x23，即x130，x230，所以f(x2)f(x1)，所以函数f(x)在(，3)上是减函数金版点睛函数
9、单调性的判断判断函数f(x)的单调性通常有定义法和图像法两种而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1x2；(2)作差：计算f(x1)f(x2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)；(4)判号：结合题设判定差的符号；(5)定论：结合单调性的定义下结论利用定义判断函数f(x)在区间(0，)上的单调性解任取x1，x2(0，)且x10，f(x2)f(x1).x10，x120，x220，f(x2)f(x1)，函数f(x)在区间(0，)上是增函数.题型二 求函数的单调区间例2画出函数yx22|x|3的图像，并指出函数的单调区间解当x0
10、时，yx22x3(x1)24，当xf(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)f(a2)答案D解析当a2a，因为函数f(x)在(，)上为减函数，所以f(a)f(2a)，故A不正确当0a1时，a2f(a)，故B不正确当a0时，a2aa0，所以f(a2a)f(a)，故C不正确因为a21a2，函数f(x)在(，)上为减函数，所以f(a21)f(a2)，故D正确.题型四 利用函数的单调性解不等式例4已知函数f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围解函数f(x)是定义在1,1上的增函数，解得1x2，又f(x2)f(1x)，x21x，即x.由可得1
11、x，即自变量x的取值范围为.金版点睛 利用函数的单调性解不等式的注意点利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x1)g(12t)，求t的取值范围解函数g(x)在R上为增函数，且g(t)g(12t)，t12t.t，即t的取值范围为.题型五 利用函数的单调性求参数的取值范围例5已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是递减的，求实数a的取值范围解f(x)x22(a1)x2x(a1)2(a1)22，此二次函数图像的对称轴为x1a.f(x)的单调减区间为(，1af(x)在(，4上是减函数，对称轴x1a必须在直线x4的右侧或与其重合1a4，解得a3.金版点睛利用函数的单调性求参数的
12、取值范围已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数若函数f(x)4x2mx5m在2，)上是增函数，则实数m的取值范围为_答案16，)解析由题意可知，二次函数图像的对称轴是直线x，若函数f(x)在2，)上是增函数，则需满足2，即m16.题型六 利用函数的单调性求最大(小)值例6求函数f(x)在区间2,6上的最大值和最小值解任取x1，x22,6，且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为2x1x26，所以x1x20.于是0，即f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，即函数f(x)在区间2,6上是递增的
13、，所以函数f(x)在区间2,6的左、右端点处分别取得最小值和最大值，即f(x)maxf(6)，f(x)minf(2).金版点睛利用函数的单调性求最值(1)利用函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数的图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍求函数f(x)在区间1,2上的最大值和最小值解任取x1，x2，使1x1x22，则f(x1)f(x2)，因为1x1x22，所以2x1x24，即63(x1x2)12，又1x1x20，故f(x1)f(x2)0.所以函数f(x)在区间1,2上为减函数，
14、所以f(x)maxf(1)，f(x)minf(2)4.1函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在(a，b)上是()A增函数 B减函数C不增不减函数 D既增又减函数答案B解析(x1x2)f(x1)f(x2)0或即当x1f(x2)或当x1x2时，f(x1)f(x2)不论哪种情况，都说明函数f(x)在(a，b)上为减函数2下图中是定义在区间5,5上的函数yf(x)的图像，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()Af(x)在区间5，3上单调递增Bf(x)在区间1,4上单调递增Cf(x)在区间3,14,5上单调递减Df(x)在区
15、间5,5上没有单调性答案C解析若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接故选C.3函数y在2,3上的最小值为()A2 B. C. D答案B解析因为函数y在2,3上为减函数，所以函数y在2,3上的最小值为ymin.故选B.4若二次函数f(x)x22axm在(，2上是减函数，则a的取值范围是_答案2，)解析题中二次函数图像的对称轴为xa，由二次函数的图像，知函数在(，a上单调递减，a2.5用单调性的定义证明：函数f(x)x在1，)上是增函数证明设x1，x21，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x1x2)(x1x2)，1x1x2，x1x21,10.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函数f(x)x在1，)上是增函数