《2019-2020学年高中北师大版数学必修2学案：第一章 7.3 球的表面积和体积 Word版含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中北师大版数学必修2学案：第一章 7.3 球的表面积和体积 Word版含解析.doc（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、7.3球的表面积和体积学习目标1.了解球的截面2.掌握球的表面积和体积公式3.会运用这些公式进行简单的有关计算.【主干自填】1球的表面积公式：S球面4R2(R为球的半径)2球的体积公式：V球R3(R为球的半径)【即时小测】1思考下列问题(1)用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示若球的半径为R，截面圆的半径为r，OOd.在RtOOC中，OC2OO2OC2，即R2r2d2.(2)球的半径为R，它的体积公式为_，它的表面积公式_，观察这两个公式，想想它们都有什么
2、特点？提示：VR3S4R2这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确定其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数，并且表面积为半径为R的圆面积的4倍2球的表面积扩大2倍，球的体积扩大()A2倍 B.倍 C2倍 D3倍提示：C球的表面积扩大2倍，半径扩大倍，从而体积扩大()32倍3两个球的半径之比为13，那么两个球的表面积之比为()A19 B127 C13 D11提示：A设两球的半径为R1，R2，R1R213，两个球的表面积之比为S1S24R4RRR19.例1已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且ACBC6，AB4，求球面面积与球的体积解如图所
3、示，设球心为O，截面圆圆心O1，球半径为R，连接OO1，则OO1是球心到截面的距离由于OAOBOCR，则O1是ABC的外心设M是AB的中点，由于ACBC，则O1在CM上设O1Mx，易知O1MAB，则O1A，O1CCMO1Mx.又O1AO1C，x.解得x.则O1AO1BO1C.在RtOO1A中，O1O，OO1A90，OAR.由勾股定理，得22R2.解得R.故S球面4R254，V球R327.类题通法球的表面积和体积的解题方法计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视用与球心距离为1的平面去截球，
4、所得截面面积为2，则球的体积为()A. B. C8 D4答案D解析所得截面圆的半径为r，因此球的半径R，球的体积为R34.例2轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积解如下图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC、AC相切于点D、E.连接AD，OE，ABC是正三角形，CDAC.CD1 cm，AC2 cm，AD cm，RtAOERtACD，.设OEr，则AO(r) cm，r cm，V球3(cm3)，即球的体积等于 cm3.类题通法截面在有关球计算中的作用解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的
5、大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积解作轴截面如图所示，CC，AC2，设球的半径为R，则R2OC2CC2()2()29，R3，S球4R236，V球R336.例3过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，截面面积是48 cm2，求球的表面积解如图所示，设O为截面圆圆心，则OOOA，OA为截面圆的半径，OA为球的半径R.48AO2，AO248.在RtOOA中，OA2OO2AO2，R2248，解得R8.S球4R2464256(c
6、m2)即球的表面积为256 cm2.类题通法一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面(过球的直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题.已知球的两平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的体积解作球的轴截面，如下图所示，设以r1为半径的截面面积为5，以r2为半径的截面面积为8，O1O21，球的半径为R，OO2x.rR2x2，r(R2x2)8.rR2(x1)2，rR2(x1)
7、25.于是(R2x2)R2(x1)285，即2x13，解得x1.又(R2x2)8，R218，R29，R3.球的体积V3336.易错点考虑问题不全面致误典例一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积错解如图所示，设ODx，由题知CA249，CA7 cm.BD2400，BD20 cm.设球半径为R，则有(CDDO)2CA2R2OD2DB2，即(9x)272x2202，x15，R25.S球4R22500 cm2.错因分析本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论正解(1)当球心在两个截面的同
8、侧时，解法同错解(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设ODx，则OC9x，设球半径为R，可得x2202(9x)272R2，此方程无正数解，即此种情况不可能综上可知，球的表面积是2500 cm2.课堂小结1.已知球的半径求球的表面积与体积的计算.2.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.3.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.1若一个球的体积为4，则它的表面积为()A12 B3 C. D.答案A解析设球的半径为R，则有R34，解得R，则球的表面积S4()212.2一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3答案C解析由球的性质知，球的半径R5，所以V球53(cm3)3一个正方体与一个球的表面积相等，那么它们的体积的比值是()A. B. C. D.答案A解析设正方体的棱长为a，球的半径为r，则6a24r2，即ar，所以.4已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D.答案D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是该正四棱柱体对角线长的一半，所以半径r1，所以V球13.