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1、第一章水平测试本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟 第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列三视图表示的几何体是()A圆台 B棱锥C圆锥 D圆柱答案A解析由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又左视图和主视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台2已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，AO，那么原ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C三边中有两边相等的等腰三角形D三边互不相等的三角形答案A解析根据“斜二测画法”可得BCB
2、C2，AO2AO.故原ABC是一个等边三角形3已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A. cm3 B. cm3C2000 cm3 D4000 cm3答案B解析由三视图得该几何体为四棱锥，则其体积为V202020 cm3.4已知一个圆锥的展开图如右图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为()A. B.C. D.答案A解析由底面圆的半径为1，可知扇形的弧长为2，又扇形的圆心角为120，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V122.5. 如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条
3、棱中，最长的棱的长度为()A6 B6C4 D4答案B解析该多面体是如下图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥ECC1D1(其中E为BB1的中点)，其中最长的棱为D1E6.6已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C2 D4答案B解析由题意，该几何体可以看作两个底面半径和高都为的圆锥的组合体，其体积为2()2.7正方体ABCDA1B1C1D1如下图所示，下面结论错误的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60答案D解析对于A，由于BDB1D1，易知BD平面CB1D1
4、；对于B，连接AC，易证BD平面ACC1，所以AC1BD；对于C，因为BDB1D1，所以AC1B1D1，同理可证AC1B1C，所以AC1平面CB1D1；对于D，因为BCAD，所以B1CB即AD与CB1所成的角，此角为45，故D错8如下图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与BD的中点，若CD2AB4，EFBA，则EF与CD所成的角为()A90B45C60D30答案D解析取BC的中点H，连接EH、FH，则EFH为所求的角，可证EFH为直角三角形，EHEF，FH2，EH1，sinEFH，EFH30.9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面B
5、B1D1D的位置关系是()A平行 B相交CEF平面BB1D1D D无法判断答案A解析取B1C1中点H，连接EH，FH，E、F、H分别为BC、D1C1、B1C1中点，FHD1B1，EHBB1，平面EFH平面BB1D1DEF平面EFH，EF平面BB1D1D.10如图，P是ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于点A，B，C，若，则()A. B. C. D.答案D解析由平面平面ABC，得ABAB，BCBC，ACAC，由等角定理得ABCABC，BCABCA，CABCAB，从而ABCABC，PABPAB，22，所以，所以，故选D.11已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l
6、满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l答案D解析由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，l，l，则交线平行于l，故选D.12已知平面ABC外一点P，且PH平面ABC于点H.给出下列四个说法：若PABC，PBAC，则点H是ABC的垂心；若PA，PB，PC两两互相垂直，则点H是ABC的垂心；若ABC90，点H是AC的中点，则PAPBPC；若PAPBPC，则点H是ABC的外心其中正确说法的个数为()A1 B2 C3 D4答案D解析对于，易知AHBC，BHAC，所以点H是A
7、BC的垂心；对于，易知PB平面PAC，所以PBAC，同理，PABC，由可知点H是ABC的垂心；对于，ABC90，点H是AC的中点，所以HAHCHB，又PHAPHBPHC90，所以PAPBPC；对于，PHAPHBPHC90，PAPBPC，所以HAHBHC，即点H是ABC的外心都正确，故选D.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13下列说法正确的是_(填序号)连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台都有两个底面；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线
8、长答案解析本题主要考查空间几何体的结构特征根据圆柱母线的定义，说法错误；以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台，以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，故说法错误；圆锥只有个底面，故说法错误；根据圆锥母线的定义，说法正确14把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为_cm.答案6解析设大铁球的半径为R cm，由R3333，得R3216，得R6.15如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面中，与直线CE平行、相交的平面个数分别为m，n，则mn_.答案5解析CE与正方体上底面平行，且在正方体
9、下底面所在的平面内，而与它相交的平面分别是前、后、左、右四个平面，即m1，n4，因此mn5.16如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是_(填序号)答案解析中，记点B正上方的顶点为C，连接AC，则易证平面ABC平面MNP，所以AB平面MNP；中ABNP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB平面MNP；中，AB均与平面MNP相交三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1P2PA1，C1Q2QA1.求证：直线AA1，B
10、P，CQ相交于一点证明如图，连接PQ.由B1P2PA1，C1Q2QA1，得PQB1C1，且PQB1C1.又BC綊B1C1，四边形BCQP为梯形，直线BP，CQ相交，设交点为R，则RBP，RCQ.又BP平面AA1B1B，CQ平面AA1C1C，R平面AA1B1B，且R平面AA1C1C，R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上，即RAA1，直线AA1，BP，CQ相交于一点18(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示(不考虑接触点)(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的体积解(1)由三视图，知该几何体由两部分组成，上部分是直径为1的球，下部分是底面边长为2，高为3的正三棱柱表面积S42
11、22233218.(2)体积V2333.19(本小题满分12分)在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BAC.D，E分别是BB1，A1C1的中点(1)求证：DE平面A1BC；(2)若ABBC，求证：A1B平面ABC；(3)在(2)的条件下，ABBC1，BB1，求三棱锥A1BCC1的体积解(1)证明：取A1C的中点F，连接BF，EF，E是A1C1的中点，EFCC1，且EFCC1.又CC1BB1，D是BB1的中点，EFDB，且EFDB，四边形BDEF是平行四边形，DEBF，而DE平面A1BC，BF平面A1BC，DE平面A1BC.(2)证明：AA1BC，ABBC，ABAA1A，BC平面ABB
12、1A1，BCA1B.又A1BAC，ACBCC，A1B平面ABC.(3)由(2)的结论，得A1BAB，ABBC，AB平面A1BC.A1B1AB，A1B1平面A1BC.由B1C1BC，可知B1C1平面A1BC.A1B1AB1，BB1，A1B1，三棱锥A1BCC1的体积VVVSA1B1BCA1BA1B1111.20(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABC90，BCBB1，M，N分别是A1B1，AC1的中点求证：(1)MN平面BCC1B1；(2)平面MAC1平面ABC1.证明(1)取BC1的中点D，连接B1D，ND，D，N分别是BC1，AC1的中点，NDAB，ND
13、AB.又M为A1B1的中点，ABA1B1，ND綊B1M，MNDB1为平行四边形，MNB1D.又B1D平面BCC1B1，MN平面BCC1B1，MN平面BCC1B1.(2)由题可知ABB1D，B1DBC1.又AB平面ABC1，BC1平面ABC1，ABBC1B，B1D平面ABC1.又B1DMN，MN平面ABC1.又MN平面MAC1，平面MAC1平面ABC1.21(本小题满分12分)如图，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A，B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的中点，DO面，垂足为O.(1)证明：AB平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值解(1)证明：如图，因为DO，A
14、B，所以DOAB.连接BD，由题设，知ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DEAB.而DODED，故AB平面ODE.(2)因为BCAD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角由(1)，知AB平面ODE，所以ABOE.又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角，从而DEO60.不妨设AB2，则AD2，易知DE.在RtDOE中，DODEsin60.连接AO，在RtAOD中，cosADO.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.22(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：
15、B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高解(1)证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，而AOBOO，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)如图，作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABCA1B1C1的高为.