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1、2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，APC=60，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为( )A.B.C.D.2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( )A.B. C.D.-3，33.将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+100成立的事件发生的概率等于( )A. B.C.D.4.设函数f(x)=3sinx+2
2、cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( )A. B. C.-1D.15.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( )6.已知A与B是集合1，2，3，100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为AB空集.若nA时总有2n+2B，则集合AB的元素个数最多为( )A.62B.66 C.68D.74二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为_.8
3、.在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，若，则与的夹角的余弦值等于_.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_.10.已知等差数列an的公差d不为0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数.若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于_.11.已知函数，则f(x)的最小值为_.12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有_种(用数字作答).三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.设，
4、求证：当正整数n2时，an+1an.14.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：(1)对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+)=fi(x)；(2)对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，APC=60，则二面
5、角A-PB-C的平面角的余弦值为( B )A.B.C.D.解：如图，在侧面PAB内，作AMPB，垂足为M.连结CM、AC，则AMC为二面角A-PB-C的平面角.不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得.在AMC中，由余弦定理得.2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( A )A. B. C.D.-3，3解：令，则有，排除B、D.由对称性排除C，从而只有A正确.一般地，对kR，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的kR成立.由于，所以，从而上述不等式等价于.3.将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不
6、同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+100成立的事件发生的概率等于( D )A.B.C.D.解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个.由不等式a-2b+100得2ba+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、9中每一个值，使不等式成立，则共有95=45种；当b=6时，a可取3、4、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为
7、.4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( C )A.B.C.-1 D.1解：令c=，则对任意的xR，都有f(x)+f(x-c)=2，于是取，c=，则对任意的xR，af(x)+bf(x-c)=1，由此得.一般地，由题设可得，其中且，于是af(x)+bf(x-c)=1可化为，即，所以.由已知条件，上式对任意xR恒成立，故必有，若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b0.所以，由(2)知sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ).当c=2k时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾，故c=2k
8、+(kZ)，cosc=-1.由(1)、(3)知，所以.5.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( A )解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线(当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆).当r1=r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当02c|r1-r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1r2且r1+r20(1)，(2)，(3)，由此解得.对求导，得，则，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为(4)
9、.同理可求得直线l2的方程为(5).(4)-(5)得，因为x1x2，故有(6).将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2.(4)+(5)得(7)，其中，代入(7)式得2yp=(3-2k)xp+2，而xp=2，得yp=4-2k.又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段(不含端点).15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：(1)对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+)=fi(x)；(2)对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+
10、f4(x)sin2x.证明：记，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的xR，g(x+2)=g(x)，h(x+2)=h(x).令，其中k为任意整数.容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的xR，fi(x+)=fi(x)，i=1，2，3，4.下证对任意的xR，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x).当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的xR，f1(x)+f2(x)cosx=g(x).下证对任意的xR，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).当时，显然成立；当x=k时，h(x)=h(k)=h(k-2k)=h(-k)=-h(k)，所以h(x)=h(k)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x.于是，对任意的xR，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).综上所述，结论得证.