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1、1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1 设等差数列an 满足3a8=5a13且a10，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S212 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，Z20，则复数Z，Z，Z所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)203 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1个 (B)2个 (C)50个
2、(D)100个4 已知方程|x2n|=k (nN*)在区间(2n1，2n+1上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( ) (A)k0 (B)0k (C)k (D)以上都不是5 logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小关系是(A) logsin1cos1 logcos1sin1 logsin1tan1 logcos1tan1(B) logcos1sin1 logcos1tan1 logsin1cos1 logsin1tan1(C) logsin1tan1 logcos1tan1 logcos1sin1 logsin1cos1(D) lo
3、gcos1tan1 logsin1tan1 logsin1cos10，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=a，令an=aa (n1)0，an+1= aa n0 (B)0k (C)0 由图象可得，x=2n+1时，k1即k故选B 又解：y=(x2n)2与线段y=k2x(2n10且(2n1)2(4n+k2)(2n1)+4n20，(2n+1)2(4n+k2)(2n+1)+4n20，2n12n+k22n+1 k5 logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1
4、tan1的大小关系是(A) logsin1cos1 logcos1sin1 logsin1tan1 logcos1tan1(B) logcos1sin1 logcos1tan1 logsin1cos1 logsin1tan1(C) logsin1tan1 logcos1tan1 logcos1sin1 logsin1cos1(D) logcos1tan1 logsin1tan1 logsin1cos1 logcos1sin1解：1，故0cos1sin11tan1 logsin1tan10，logcos1tan10，logcos1sin10，设logsin1cos1=a，则得(sin1)a=co
5、s11；logcos1sin1=b，则(cos1)b=sin1cos1，0b1；即logcos1sin1 logsin1cos1设logsin1tan1=c，logcos1tan1=d，则得(sin1)c =(cos1)d=tan1，(指数函数图象进行比较)，cd即logsin1tan1logcos1tan1故选C6 设O是正三棱锥PABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式+ (A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常数 解：O到面PAB、PBC、PCA的距离
6、相等设APB=，则 VPQRS=d(PQPR+PRPS+PSPQ)sin(其中d为O与各侧面的距离) VPQRS=PQPRPSsinsin(其中为PS与面PQR的夹角) d(PQPR+PRPS+PSPQ)=PQPRPSsin +=为定值故选D二、填空题(每小题9分，共54分)1 设，为一对共轭复数，若|=2，且为实数，则|= 解：设=x+yi，(x，yR)，则|=2|y|y= 设arg=，则可取+2=2，(因为只要求|，故不必写出所有可能的角)=，于是x=1|=22 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 解：设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h(2Rh)
7、 V锥=r2h=h2(2Rh)=hh(4R2h)=R3 所求比为8273 用x表示不大于实数x的最大整数， 方程lg2xlgx2=0的实根个数是 解：令lgx=t，则得t22=t作图象，知t=1，t=2，及1t2内有一解当1t1，本题中取n=1995)连结对边相应分点，把矩形ABCD分成n2个小矩形AB边上的分点共有n+1个，由于n为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A、B异色)，不妨设相邻分点E、F同色考察E、F所在的小矩形的另两个顶点E、F，若E、F异色，则EFE或DFF为三个顶点同色的小直角三角形若E、F同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，这
8、样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色同样，BC边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P、Q，则考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形否则，PQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色现考察EF所在行与PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都与N同色，MNH为顶点同色的直角三角形由n=1995，故MNHABC，且相似比为1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色证明2：首先证明：设a为任意正实数，存在距离为2a的同色两点任取一点O(设为红色点)，以O为圆心，2a为半径作圆，若圆上有一个红点，则存在距离为2a的两
9、个红点，若圆上没有红点，则任一圆内接六边形ABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a故存在距离为2a的两个蓝色点下面证明：存在边长为a，a，2a的直角三角形，其三个顶点同色如上证，存在距离为2a的同色两点A、B(设为红点)，以AB为直径作圆，并取圆内接六边形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一点为红色，则存在满足要求的红色三角形若C、D、E、F为蓝色，则存在满足要求的蓝色三角形下面再证明本题：由上证知，存在边长为a，a，2a及1995a，1995a，19952a的两个同色三角形，满足要求证明3：以任一点O为圆心，a及1995a为半径作两个同心圆，在小圆上任取9点，必有5点同色，设为A、B、C、D、E，作射线OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于A，B，C，D，E，则此五点中必存在三点同色，设为A、B、C则DABC与DABC为满足要求的三角形