《2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.3 空间向量基本定理 Word版含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.3 空间向量基本定理 Word版含解析.doc（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、.3.1.3空间向量基本定理空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m，再往东600 m处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m”、“东600 m”、“5楼”这三个量确定，设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量问题：请把“人质”的位置用向量p表示出来提示：p1 000e1600e214e3. 1空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使pxe1y
2、e2ze3.2推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得xyz .基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e1，e2，e3不共面时，空间任何一向量才可以用e1，e2，e3惟一表示，否则不可能表示1基底和基向量如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1、e2、e3线性表示，我们把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量2正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交
3、基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示1空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组a，b，c可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的2空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底基底的概念例1若a，b，c是空间的一个基底试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底思路点拨判断ab，bc，ca是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底精解详析假设ab，bc，ca共面，则存在实数、使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，a，b，c不共面此方程组无解，ab，bc，ca不共面ab
4、，bc，ca可以作为空间的一个基底一点通空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底a，b，c下，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc.证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明1设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间的基底的向量组有_个解析：如图所设a，b，c，则x，y，z，abc.由A，B1，D，C
5、四点不共面可知向量x，y，z也不共面同理可知b，c，z和x，y，abc也不共面，可以作为空间的基底因为xab，故a，b，x共面，故不能作为基底答案：32已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量2e1e23e3；若不能，请说明理由解：假设、共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x、 y使xy成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，即不存在实数x、y使xy，不共面故
6、，能作为空间的一个基底，设pqz，则有2e1e23e3p(e12e2e3)q(3e1e22e3)z(e1e2e3)(p3qz)e1(2pqz)e2(p2qz)e3.e1，e2，e3为空间的一个基底，解得17530.用基底表示向量例2 如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设a，b，c，试用向量a、b、c表示向量.思路点拨 用表示 用、表示，用、表示 用表示 用、表示 用、表示 精解详析 ，()(bc)，()()a(bc)，(bc)a(bc)a，即a.一点通用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量(2)对照目标，将不符
7、合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则3. 如图，已知正方体ABCDABCD，点E是上底面ABCD的中心，求下列各式中x、y、z的值(1)xyz；(2)xyz.解：(1)，又xyz，x1，y1，z1.(2)()又xyzx，y，z1.4如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：，.解：连接BO，则()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.空间向量基本定理的应用例3证明：平行六面体的对角线交于一
8、点，并且在交点互相平分思路点拨利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可精解详析如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1，设点O是AC1的中点，则()()，设P，M，N分别是BD1，CA1，DB1的中点，则()()( 1)，同理可证：()，()由此可知，O，P，M，N四点重合故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分一点通用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤：(1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底；(3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到
9、几何结论5求证：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，2.证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以，()()()2()，又，2.6如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点，用向量、表示和.解：()()().()()().1空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的2空间任意三个不共面的向量a、b、c皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底3由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，
10、就隐含着它们都不是0.对应课时跟踪训练(二十) 1空间中的四个向量a，b，c，d最多能构成基底的个数是_解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组答案：42.如图所示，设O为ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若xy，则x_，y_.解析：()()，x，y.答案：3已知空间四边形OABC，其对角线为AC、OB，M、N分别是OA、BC的中点，点G是MN的中点，取，为基底，则_.解析： 如图，()()()答案：()4平行六面体ABCDABCD中，若x2y3z，则xyz_.解析：x2y3z，x1,2y1，3z1，即x1，y，z.xyz1.答案：5设a、b、c是三个
11、不共面向量，现从ab，ab，ac，bc，abc中选出一个使其与a、b构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为_(填写序号)解析：根据基底的定义，a，b，c不共面，ac，bc，abc都能与a，b构成基底答案：6若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，da bc，求、的值解：由题意a、b、c为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对，使da bc，d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3.又de12e23e3，解得7.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC和A1D的一个三等分点，且，2，设a，b，c，试用a，b，c表示. 解：如图所示，连接AN，则由ABCD是平行四边形，可知ab，(ab)(bc)，b(bc)(c2b)，所以(ab)(c2b)(abc)8如图所示，平行六面体OABCOABC，且a，b，c，用a，b，c表示如下向量：(1) 、；(2) (G、H分别是BC和OB的中点)解：(1)abc，cababc，bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)