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1、1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用导数，可以解决一些生活中的优化问题2解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域在开区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值3解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内
2、只有一个点满足f(x)0的情形如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，我们可直接判断这就是最大(小)值(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上需函数关系式本身有意义即可()(2)实际问题中f(x)0只有一个解且是极值点时，它就是f(x)的最值点()答案(1)(2)2做一做(1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该厂家获取最大年利润的年产量为_(2)某工厂要围建一个面积为
3、512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为_答案(1)9(2)32 m,16 m探究面积、容积的最值问题例1用长为90 cm，宽为 48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24320x(0x24)，V(x)12x2552x432012(x246x360)12(x10)(x36)(0x24)令V
4、(x)0，解得x110，x236(舍去)当0x0，V(x)是增函数；当10x24时，V(x)0，V(x)是减函数因此，在定义域(0,24)内，只有当x10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V(10)10(9020)(4820)19600.故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm3.拓展提升在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，但一定要注意自变量的取值范围【跟踪训练1】用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求
5、它的最大容积解设容器底面一边长为x m，则另一边长为(x0.5) m，高为(3.22x) m .由 解得0x0)，故S2dh(d0)，S(d0)，令S0，得d10，此时h5.当0d10时，S10时，S0，当d10时，S取得最小值当d10 m，h5 m时，用料最省探究利润最大(成本最低)问题例3某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润y(万元)表
6、示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解(1)由题意，每年销售Q万件，共计成本为(32Q3)万元销售收入是(32Q3)150%x50%，所以年利润y(年收入)(年成本)(年广告费)(32Q3x)(x0)，所以所求的函数关系式为y(x0)当x100时，y0；当x(7，)时，f(x)0，所以f(x)极大值f(7)42.又f(x)在(0，)上只有一个极值点，所以f(x)maxf(x)极大值f(7)42.所以年广告费投入7万元时，企业年利润最大拓展提升(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利
7、润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动(关键词：以产量或单价为自变量)(2)关于利润问题常用的两个等量关系利润收入成本；利润每件产品的利润销售件数【跟踪训练3】某工厂生产某种产品，已知该产品的生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p24200x2，且生产x t产品的成本为R50000200x.问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)解每月生产x t的利润为f(x)x(50000200x)x324000x50000(x0)由f(x)x224000，令f(x)0，解得x1200，x22
8、00(舍去)因为f(x)在0，)内只有一个点x200，使f(x)0，所以x200就是最大值点，且最大值为f(200)(200)324000200500003150000(元)所以每月生产200 t产品时利润达到最大，最大利润为315万元利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤解决优化问题的方法很多，如：平均不等式法、线性规划方法及利用二次函数的性质等不少优化问题，可以化为求函数最值问题导数方法是解决这类问题的有效工具利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f
9、(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)则为最大(小)值.1某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B C1 D8答案C解析瞬时变化率即为f(x)x22x为二次函数，且f(x)(x1)21，又x0,5，故x1时，f(x)min1.2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为()A cm B100 cm C20 cm D cm答案A解析设高为h，则底面半径r，0h20，Vr2h(400h2)hhh3.由Vh20得h2
10、，h或h(舍去)，因为当0h0；当h时，V0.所以当h时，V最大3某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A30 B40 C50 D其他答案B解析V(x)60xx20，x0或x40.x(0,40)40(40,60)V(x)0V(x)极大值可见当x40时，V(x)达到最大值4某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨答案20解析设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x.令f(x)40，解得x20或x20(舍去)，x20是函数f(x)的最小值点，故x20时，f(x)最小5某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，求x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解依题意有xyx8，y(0x4)框架用料总长度L2x2y2x，则L.令L0，即0，解得x184，x248(舍去)当0x84时，L0；当84x0.当x84时，L取得最小值，此时x842.343(m)，y22.828(m)故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省