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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念1虚数单位i在实数集R中添加新数i，规定：(1)i21，其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立2复数的相关概念集合Cabi|aR，bR中的数，即形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位全体复数的集合C叫做复数集复数通用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部3复数的分类对于复数zabi，当且仅当b0时，它是实数；当且仅当ab0时，它是实数0；当且仅当b0时，叫做虚数；当a0，且b0时，叫做纯虚数4复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取
2、两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定：abi与cdi的充要条件是ac且bd(a，b，c，dR)复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，若忽略这一条件，则不能成立因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)若zmni(
3、m，nC)，则当且仅当m0，n0时，z为纯虚数()(3)bi是纯虚数()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)若abi0，则实数a_，实数b_.(2)(1)i的实部与虚部分别是_(3)若复数(a1)(a21)i(aR)是实数，则a_.答案(1)00(2)0,1(3)1探究复数的有关概念例1给出下列四个命题：两个复数不能比较大小；若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；纯虚数集相对复数集的补集是虚数集其中真命题的个数是_解析中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；由于x，
4、y都是复数，故xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；若a0，则ai不是纯虚数；由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集答案0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等但i与实数的运算及运算律仍成立【跟踪训练1】下列命题中：若aR，则(a1)i是纯虚数；若a，bR且ab，则aibi；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1；两个虚数不能比较大小其中，正确命题的序号是()A B C D答案D解析对于复数abi(a，bR)，当a0且b0时为纯虚数在中，若a1，则(a1)i不是纯虚数，故错误
5、；在中，两个虚数不能比较大小，故错误；在中，若x1，x23x20不成立，故错误；正确探究复数的分类例2当实数m为何值时，复数z(m22m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)当即m2时，复数z是实数；(2)当m22m0，即m0且m2时，复数z是虚数；(3)当即m3时，复数z是纯虚数条件探究是否存在实数m，使z(m22m)i是纯虚数？解由z(m22m)i是纯虚数，得解得m.即不存在实数m，使z(m22m)i是纯虚数拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为abi(a，bR)的形式，实部与虚部分别为哪些；(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题
6、；(3)解相应的方程(组)或不等式(组)；(4)求出参数的值或取值范围【跟踪训练2】已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)z为实数？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？解(1)要使z为实数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m3.(2)要使z为虚数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.(3)要使z为纯虚数，需满足0，且m22m30，解得m0或m2.探究复数相等例3已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若MPP，求实数m的值解MPP，MP，即(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i4i.由(m22m)(m2m2)i1，得
7、解得m1.由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.实数m的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组【跟踪训练3】已知A1,2，a23a1(a25a6)i，B1,3，AB3，求实数a的值解由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，解得a1.故实数a的值为1.1.在复数abi中，a，b必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b”，不是“bi”，更不是“i”.3.当且仅当b0且a0时，复数abi才是纯虚数，解题时不能只注意a0
8、而忽视了b0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1“a0”是“复数abi(a，bR)是纯虚数”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为复数abi(a，bR)是纯虚数a0且b0，所以“a0”是“复数abi(a，bR)是纯虚数”的必要不充分条件2以3i的虚部为实部，以3i2i的实部为虚部的复数是()A33i B3iCi D.i答案A解析3i的虚部为3,3i2i的实部为3，所以所求复数为33i.3已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_答案，5解析由题意得：a22，(2b)3，所以a，b5.4设复数z(m22m15)i为实数，则实数m的值是_答案3解析依题意有解得m3.5如果log(mn)(m23m)i1，求自然数m，n的值解log (mn)(m23m)i1，m，nN，m0，n1或n2.