《2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第二章推理与证明2.1 2.1.2 Word版含答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第二章推理与证明2.1 2.1.2 Word版含答案.doc（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1.2演绎推理1演绎推理从一种一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简而言之，演绎推理是由一般到特殊的推理2演绎推理的一般模式(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况；(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断3“三段论”常用的格式大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.4用集合知识说明“三段论”若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.演绎推理的特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在
2、必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的因而演绎推理是数学中严格证明的工具(3)演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较缺乏创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)“三段论”就是演绎推理()(2)演绎推理的结论一定是正确的()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理()答案(1)(2)(3)2做一做(1)用演绎推理证明“ysinx是周期函数”时的大前提是_，小前提是_(2)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理中“三段论”中的_
3、是错误的(3)推理某一“三段论”，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，且推理形式正确，由此可以推断，该三段论的另一前提必为_判断(选填“肯定”或“否定”)答案(1)三角函数是周期函数ysinx是三角函数(2)小前提(3)否定探究1把演绎推理写成三段论的形式例1将下列演绎推理写成三段论的形式 (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的底角，则AB；(3)通项公式an2n1表示的数列an为等差数列；(4)ysin2x的最小正周期是.解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互
4、相平分结论(2)等腰三角形两底角相等，大前提A，B是等腰三角形的底角，小前提AB.结论(3)数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列，大前提通项公式an2n1时，若n2，则anan12n12(n1)12(常数)，小前提通项公式an2n1表示的数列为等差数列结论(4)ysin(x)(0)的最小正周期为T，大前提ysin2x是上述形式的函数，小前提ysin2x的最小正周期为T.结论拓展提升三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况， 两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提【跟踪训练1】把下
5、列推断写成三段论的形式：(1)因为ABC三边的长依次为3,4,5，所以ABC是直角三角形；(2)函数y2x5的图象是一条直线；(3)等边三角形的内角和是180.解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提ABC三边的长依次为3,4,5，而324252，小前提ABC是直角三角形结论(2)一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线，大前提函数y2x5是一次函数，小前提函数y2x5的图象是一条直线结论(3)三角形的内角和是180，大前提等边三角形是三角形，小前提故等边三角形的内角和是180.结论探究2演绎推理在几何中的应用例2在四边形ABCD中，ABCD，BCAD，求证：ABC
6、D为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理证明(1)连接AC.(2)平面几何中的三角形“边边边”定理是：有三边对应相等的两个三角形全等，这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等，大前提ABC和CDA的三边对应相等，小前提则这两个三角形全等结论符号表示为： ABCCDA.(3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等，大前提ABC和CDA全等，小前提则它们的对应角相等结论用符号表示，就是ABCCDA12且34且BD.(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，大
7、前提直线AB、DC被直线AC所截，内错角12，小前提(已证)则ABDC.结论同理有：BCAD.(5)如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，大前提四边形ABCD中，两组对边分别平行，小前提则四边形ABCD是平行四边形结论用符号表示为：ABDC且ADBC四边形ABCD为平行四边形拓展提升数学问题的解决和证明都蕴涵着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提例如本例中每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论【跟踪训练2】如图，D，E，F分别是BC，CA，
8、AB上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF.请写出三段论形式的演绎推理证明同位角相等，两直线平行，大前提BFD与A是同位角，且BFDA，小前提FDAE.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA，且FDAE，小前提四边形AFDE是平行四边形结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF是平行四边形AFDE的对边，小前提EDAF.结论探究3演绎推理在函数中的应用例3已知函数f(x)，对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证： f(x)为奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解(1)证明：x，yR时，f(xy)f(x)
9、f(y)，令xy0，得f(0)f(0)f(0)2f(0)，f(0)0.令yx，则f(xx)f(x)f(x)0.f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)设任意x1，x2R，且x10时，f(x)0，f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0，f(x)为减函数，f(x)在3,3上的最大值为f(3)，最小值为f(3)f(3)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6，函数f(x)在3,3上的最大值为6，最小值为6.拓展提升本题采用了典型的演绎推理，这并不是什么特殊值法，而是一段条理十分清晰透彻的三段论的证明函数奇偶性与单调性的判断方法是解答本题的大前提本题的解答过程除了演绎推理外，还应用了函数与
10、方程的数学思想【跟踪训练3】设函数f(x)，其中a为实数(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单调减区间解(1)因为f(x)的定义域为R，所以x2axa0恒成立所以a24a0，所以0a4，即当0a4时，f(x)的定义域为R.(2)因为f(x).所以由f(x)0，得x0或x2a.因为0a4，所以当0a0.所以在(，0)上，f(x)0，在(0,2a)上，f(x)0.所以f(x)的单调减区间为(0,2a)当a2时，f(x)0恒成立所以f(x)没有单调减区间当2a4时，2a0，在(2a,0)上，f(x)0.所以f(x)的单调减区间为(2a,0)综
11、上：当0a2时，f(x)的单调减区间为(0,2a)；当2a4时，f(x)的单调减区间为(2a,0)1.归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，前者是个别到一般、部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，推理的结论都有待进一步证明演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理体系所采用的推理形式演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.2.演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性但在数学中，合情推理的应用与演绎推理的应用一样广泛严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出
12、及其证明过程是靠合情推理才得以发现的.1“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”此推理方法是()A完全归纳推理 B归纳推理C类比推理 D演绎推理答案B解析由特殊到一般的推理是归纳推理2已知在ABC中，A30，B60，求证：ab.证明：因为A30，B60，所以AB.所以a3，得x”的推理过程中，其小前提是_答案a2a10解析大前提是不等式的性质，小前提是a2a10.5用三段论证明通项公式为ana1(n1)d的数列an为等差数列证明若数列an满足an1and(常数)，则数列an 为等差数列，大前提通项公式为ana1(n1)d的数列an，满足an1ana1nda1(n1)dd，小前提所以通项公式为ana1(n1)d的数列an为等差数列结论