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1、第一章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟.第卷(选择题，共60分)答案C解析由导数的运算法则易得，注意A选项中的a为常数，所以(sina)0. 答案B 答案C 答案C 答案B 答案B 7.设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A.xR，f(x)f(x0)B.x0是f(x)的极小值点C.x0是f(x)的极小值点D.x0是f(x)的极小值点答案D解析函数f(x)的极大值f(x0)不一定是最大值，故A错误；f(x)与f(x)关于原点对称，故x0(x00)是f(x)的极大值点时，x0是f(x)的极
2、小值点，故选D.答案D 9.直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2 B4 C2 D4答案D解析由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4xx3)dx|4.10.关于x的方程x33x2m0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是()A.(0,1) B(，0)C.(1，) D(4,0)答案D解析令g(x)x33x2，则可知函数g(x)的极大值为0和极小值为4，则得出m的取值范围是(4,0).答案B答案D第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若
3、(2xk)dx2，则实数k_.答案1解析(2xk)dx(x2k x)1k，1k2，k1.14.已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_.答案3解析因为 f(x)(2x3)ex，所以f(0)3.答案2解析f(x)1，令g(x)，f(x)g(x).g(x)g(x)，f(x)f(x).f(2019)f(2019)f(2019)f(2019)1g(2019)f(2019)1g(2019)f(2019)2.16.已知函数f(x)x2aln x在区间(1,2)内是增函数，则实数a的取值范围是_.答案解析f(x)1，由已知得10在x(1,2)内恒成立，即x22ax3a2
4、0在x(1,2)内恒成立设g(x)x22ax3a2，则或或(2a)212a20，解得1a或a无解或a0，所以实数a的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)曲线C：y2x33x22x1，点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积.18.(本小题满分12分)已知f(x)ax3b x2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.解(1)f(x)3ax22 b xc，因为x1是函数f(x)的极值点，所以x1是方程f(x)0即3ax22 b x
5、c0的两根由根与系数的关系，得又f(1)1，所以abc1.由，解得a，b0，c.(2)因为f(x)x3x，所以f(x)x2(x1)(x1)当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0).(1)若存在x0，使得不等式f(x)6a24a成立，求实数a的取值范围；(2)设函数yf(x)图象上任意不同的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为C(x0，y0)，记直线AB的斜率为k，证明kf(x0).解(1)因为f(x)ln xax2(12a)x，其定义域为(0，)，所以f(x)2ax(12a)，因为a0，x0，所以2ax10，所以当0x0，f(x)在(0,1)上单调递增；当x1时，f
6、(x)6a24a，解得ax10，要证明kf(x0)，即证明a(x2x1)(12a)a(x1x2)(12a)，只需证明，即证明ln ，构造函数g(x)ln x，则g(x)0，所以g(x)在1，)上是增函数，当x1时，g(x)g(1)0，又1，所以ln ，从而kf(x0)成立.21.(本小题满分12分)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40k203
7、，k，则总费用f(x)(kx3400)a.f(x)a(0x100).由f(x)0，得x20.当0x20时，f(x)0；当20x0，当x20时，f(x)取最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)xaln x(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若在1，e(e2.71828)上存在一点x0，使得f(x0)0成立，求a的取值范围.解(1)函数f(x)xaln x，x(0，)，所以f(x)1，x(0，)，当1a0，即a1时，在(0，)上总有f (x)0，所以，函数f(x)在(0，)上单调递增.当1a0时，即a1时，在区间(0,1a)上f(x)0
8、，所以f(x)在(0,1a)单调递减，在(1a，)单调递增.(2)在1，e上存在一点x0，使得f(x0)0成立，即函数f(x)xaln x在1，e上的最小值不大于0，由(1)知，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)在1，e上单调递增，f(x)的最小值是f(1)，有f(1)11a0，得a2.当a1时：当1ae，即ae1时，f(x)在1，e上单调递减，所以f(x)的最小值是f(e)，由f(e)ea0可得a，因为e1，所以a.当1a1，即a0时，f(x)在1，e上单调递增，f(x)的最小值是f(1)，有f(1)11a0，得a2，这与a1矛盾，当11ae，即0ae1时，可得f(x)的最小值是f(1a)，因为0ln (1a)1，所以有0aln (1a)2，此时f(1a)0不成立.综上所述，所求a的取值范围是a2或a.