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1、问题04 函数中的存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1) 设,（1）上恒成立；（2）上恒成立.(2) 对于一次函数有：(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数
2、范围转化为求函数值域(4) 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；求在上的最大（或最小）值；解不等式(或) ,得的取值范围.(5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.(6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得
3、出奇制胜的效果.三、知识拓展(1)恒成立问题. xD,均有f(x)A恒成立,则f(x)minA；. xD,均有f(x)A恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x)min 0；. xD,均有f(x)g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x) max g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max；. x1D, x2E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x) max A成立,则f(x) max A；. x0D,使得f(x0)A成立,则 f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x), F(x)
4、 max 0；. x0D,使得f(x0) g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x), F(x) min g(x2)成立,则f(x) max g(x) min；. x1D, x2E,均使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) min g(x2)成立,则f(x)min g(x) min；x1D, x2E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) max g(x) max.四、题型分析解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；分离参数法；主参换位法；数形结合法等. (一) 函数性质法【例1】已知函数f(x)x3ax210,若在区间1,2内至少存在一个实数x,使
5、得f(x)x310中x21,4,所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论【牛刀小试】【2017山西大学附中第二次模拟】设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】令.由题意知存在唯一整数,使得在直线的下方.,当时,函数单调递减,当,函数单调递增,当时,函数取得最小值为.当时,当时,直线过定点,斜率为,故且,解得.(二)分离参数法【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为(1)求实数的值；(2)若对任意成立,求实数的取值范围.【分析】（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为,可知,可建立关于的方程：,从而解得；（2）要使对任意
6、恒成立,只需即可,而由（1）可知,问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数的单调性,从而求得其最值：,令,解得,当时,在上是增函数；当时,在上是减函数,因此在处取得最大值,即为所求. (2)由（1）知,对任意成立对任意成立, 令,则问题转化为求的最大值,令,解得, 当时,在上是增函数；当时,在上是减函数 故在处取得最大值,即为所求. 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一
7、侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式,（为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；(2)求在上的最大（或最小）值；(3)解不等式 (或) ,得的取值范围.【牛刀小试】【2017湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数,其中且,(1)若,且时,的最小值是2,求实数的值；(2)若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).(2)恒成立,即恒成立,.又,恒成立,.令,.故实数的取值范围为.(三)主参换位法【例3】已知函数是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数,(1)求的值；(2)若上恒成
8、立,求的取值范围.【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：及,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解.【解析】(1) (2)由(1)知：,在上单调递减,在上恒成立,只需,（其中）恒成立,由上述结论：可令,则,而恒成立,.【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常
9、因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.【牛刀小试】若不等式对任意恒成立,求实数x的取值范围. 【答案】【解析】可转化为,设,则是关于m的一次型函数,要使恒成立,只需,解得.(四)数形结合法【例4】已知函数,在恒有,求实数的取值范围.【分析】为了使题中的条件在恒成立,应能想到构造出一个新的函数,则可把原题转化成所构造新的函数在区间时恒大于等于的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决. 【点评】如果题中所涉
10、及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数大于0恒成立,则有,同理,若二次函数小于0恒成立,则有.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在上的奇函数满足:当时,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（ ）A BC. D【答案】A(五)存在性之
11、常用模型及方法【例5】设函数,且.曲线在点处的切线的斜率为.（1）求的值；（2）若存在,使得,求的取值范围.【分析】（1）根据条件曲线在点处的切线的斜率为,可以将其转化为关于,的方程,进而求得的值：,；（2）根据题意分析可得若存在,使得不等式成立,只需即可,因此可通过探求的单调性进而求得的最小值,进而得到关于的不等式即可,而由（1）可知,则,因此需对的取值范围进行分类讨论并判断的单调性,从而可以解得的取值范围是.【解析】（1）, 由曲线在点处的切线的斜率为,得, 即,； 4分（2）由（1）可得, 令,得,而,当时,在上,为增函数,令,即,解得. 当时,极小值,不合题意,无解,10分当时,显然有
12、,不等式恒成立,符合题意, 综上,的取值范围是. 【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为的否定为；原命题为的否定为“.处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题. 【牛刀小试】已知, (1)若存在,使得,求实数的取值范围； (2)若存在,使得,求实数的取值范围.五、迁移运用1【2018届江西省上高县高三上学期第四次月考】若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】构造函数f（x）=3x2,g（x）=-logax, 不等式3x2-logax0
13、对任意恒成立,f（）g（3- 00a1且a实数a的取值范围为,故选A2【2018届广西贵港市高三上学期12月联考】若不等式对任意的恒成立,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有： ,由对数函数的单调性有： ,整理可得： ,由恒成立的条件有： ,其中,当且仅当时等号成立.即时,函数取得最小值.综上可得： .本题选择D选项.3.【2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数,若关于的不等式恰有个整数解,则实数的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 4【2018届甘肃省高台高三上学期第五次模拟】已知函数,若对任意, 恒成立,则实数的取值范
14、围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数对任意, 恒成立,恒成立,即x恒成立；设,xR；在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示；则满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方,求的导数,且过图象上点的切线方程为,且该切线方程过原点(0,0),则,即,解得；切线斜率为,应满足a1e,即a1e；又a10,a1,实数a的取值范围是(1e,1.故选B.5【2018届广东省五校高三12月联考】已知函数,若有且只有两个整数, 使得,且,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知, ,即, ,设,由,可知,在上为减函数,在上为增函数, 的图象恒过点,
15、在同一坐标系中作出的图象如下：若有且只有两个整数,使得,且,则,即,解得,故选C.6【2018届陕西省西安高三上学期期中】已知函数,若对于任意的,都有成立,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A7【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟】已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A B C D 【答案】D【解析】不等式即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项. 8【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】已知对任意的
16、，总存在唯一的，使得成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】9【贵州省铜仁市第一中学2019届高三上学期第二次月考】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】令，则，当时，所以在上是单调减函数；当时，所以在上是单调增函数；所以的图像如图所示：直线恒过点，设过的直线与曲线相切于点且切线方程为：，代入，故，解得或者，当时，所以当时，直线可与在轴下方的图像相交因为有且只有一个整数解，故曲线上的点在直线下方，在直线上方或在直线上，故 即，故选B10【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三10月联考
17、】已知函数f(x)=x+1；f(x)=-2；f(x)=；f(x)=lnx；f(x)=cosx。其中对于f(x)定义域内的任意，都存在，使得f()f()=成立的函数是A B C D 【答案】B【解析】由知，对函数f(x)图象上任意一点，都存在一点，使OAOB，若斜率都存在，则对于，由于f(x)=x+1，所以无论两个点如何取，OA和OB的斜率均等于1，故不成立；对于，由于，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f(x)图象上任意一点，都存在一点，使OAOB，故成立；对于，由于，若，则，显然不成立，故不成立；对于，由于f(x)=lnx，则当时，故，直线OA为x轴，此时与直线OA垂直
18、的直线为y轴，而y轴与函数f(x)的图象无交点，故不成立；对于，由于f(x)=cosx，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f(x)图象上任意一点，都存在一点，使OAOB，故成立综上可得符合条件的是故选B11【福建省莆田市第一中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C12【福建省厦门外国语学校2019届高三上学期第一次月考】已知函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围是( )A B C D 【答案】B【解析】由于，则，函数在上单调递减，在上单调递增，由于任意，恒成立，所以，即时，恒成立，即在上恒成立，所以在
19、上恒成立，令，则，而，当时，所以在单调递减，由于，所以时，时，所以，即13【2018届江苏南通市高三第二次阶段测试】若不等式在实数集R上恒成立,则正整数的最大值是_参考数据： 【答案】【解析】 14【2018届河南省漯河高三上学期第四次模拟】已知（, 为常数）和是定义在上的函数,对于任意的,存在使得, ,且,则在上的最大值为_.【答案】5【解析】,(当且仅当x=2时,等号成立),f(x)在x=2处有最小值,即b=8,故c=5,故,故f(x)在1,2上是减函数,在2,4上是增函数,而,故f(x)的最大值为5. 15.设函数f(x)axsinxcosx若函数f(x)的图象上存在不同的两点A,B,使
20、得曲线yf(x)在点A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为 【答案】 16.【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数,其中,为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时,；（3）确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立.【解析】（1）由,得.当时,在成立,则为上的减函数；当时,由,得,当时,当时,.则在上为减函数,在上为增函数.综上,当时,为上的减函数；当时,在上为减函数,在上为增函数.（3）由,得.设,由题意知,在内恒成立.,有在内恒成立.令,则,当时,令,函数在上单调递增.又,.综上所述,在区间单调递增,即在区间单调递增,.17.【2017四川省资阳市高三上学期第一次
21、诊断】已知函数(其中).() 当时,若在其定义域内为单调函数,求的取值范围；() 当时,是否存在实数,使得当时,不等式恒成立,如果存在,求的取值范围,如果不存在,说明理由（其中是自然对数的底数,2.71828）.【解析】() 由题,.当时,知,则是单调递减函数；当时,只有对于,不等式恒成立,才能使为单调函数,只需,解之得,此时综上所述,的取值范围是 () ,其中,() 当时,于是在上为减函数,则在上也为减函数,知恒成立,不合题意,舍去 () 当时,由得列表得(0,)(,)0极大值若,即,则在上单调递减, 知,而,于是恒成立,不合题意,舍去若,即,则在(,)上为增函数,在(,)上为减函数,要使在
22、恒有恒成立,则必有则所以由于,则,所以18. 【2017湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数 当时,求的单调区间；当时,的图象恒在的图象上方,求的取值范围. (i) 当时,故：时,单调递增, 时,单调递减,时,单调递增； (ii) 当时, 恒成立,在上单调递增,无减区间； 综上,当时,的单调增区间是,单调减区间是；当时,的单调增区间是,单调减区间是；当时,的单调增区间是,无减区间. 由知当时,的图象恒在的图象上方,即对恒成立即 对恒成立 记 , (i) 当时,恒成立,在上单调递增, 在上单调递增,符合题意； (ii) 当时,令得时,在上单调递减时, 在上单调递减, 时,不符合题意 综上
23、可得的取值范围是. 19. 【2017广东省惠州市第二次调研】已知函数,.（）函数的图象与的图象无公共点,求实数的取值范围；（）是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方？若存在,请求出整数的最大值；若不存在,请说理由.（参考数据：,）.【解析】（）函数与无公共点,等价于方程在无解 令,则令得0增极大值减因为是唯一的极大值点,故4分故要使方程在无解,当且仅当,故实数的取值范围为20.【2017河南省天一大联考】已知函数（1）当时,求函数在区间上的最大值与最小值；（2）若在上存在,使得成立,求的取值范围【解析】（1）当时,令,得,当变化时,的变化情况如下表：10极小值因为,所以在区间上的最大值与最小值分别为：,（2）设若在上存在,使得,即成立,则只需要函数在上的最小值小于零又,令,得（舍去）或当,即时,在上单调递减,故在上的最小值为,由,可得因为,所以当,即时,在上单调递增,故在上的最小值为,由,可得（满足）当,即时,在上单调递减,在上单调递增,故在上的最小值为因为,所以,所以,即,不满足题意,舍去综上可得或,所以实数的取值范围为