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1、问题36 圆锥曲线中的定值、定点问题一、考情分析圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用二、经验分享1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关2.圆锥
2、曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得三、知识拓展1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点，F是该椭圆焦点，则；2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；3. 设点是抛物线C：一定
3、点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；四、题型分析(一) 定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明【例1】已知直线的方程为,点是抛物线上到直线距离最小的点,点是抛物线上异于点的点,直线与直线交于点,过点与轴平行的直线与抛物线交于点.（）求点的坐标；（）证明直线恒过定点,并求这个
4、定点的坐标.【分析】（）到直线距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线平行且与抛物线相切的切点：如根据点到直线的距离得当且仅当时取最小值,（）解析几何中定点问题的解决方法,为以算代证,即先求出直线AB方程,根据恒等关系求定点.先设点 ,求出直线AP方程,与直线方程联立,解出点纵坐标为.即得点的坐标为,再根据两点式求出直线AB方程,最后根据方程对应恒成立得定点【解析】（）设点的坐标为,则,所以,点到直线的距离.当且仅当时等号成立,此时点坐标为. （）设点的坐标为,显然.当时,点坐标为,直线的方程为；当时,直线的方程为,化简得；综上,直线的方程为.与直线的方
5、程联立,可得点的纵坐标为.因为,轴,所以点的纵坐标为.因此,点的坐标为.当,即时,直线的斜率.所以直线的方程为,整理得.当,时,上式对任意恒成立,此时,直线恒过定点,当时,直线的方程为,仍过定点,故符合题意的直线恒过定点. 考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系【点评】 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关【小试牛刀】【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的
6、长轴，短轴端点的一条直线方程是.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.【解析】（1）对于，当时，即，当，即，椭圆的方程为，（2）证明：设直线，（），设，两点的坐标分别为，则，联立直线与椭圆得，得，解得，直线 ，令，得 ，直线过定点 (二) 定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而
7、得到定值【例2】如图,点,分别为椭圆的左右顶点,为椭圆上非顶点的三点,直线的斜率分别为,且,.（）求椭圆的方程；（）判断的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.【分析】（）设,则,而,所以 （）根据弦长公式求底边的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,因此设直线的方程为,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得,根据斜率条件及韦达定理得,高为 ,代入面积公式化简得【解析】（）椭圆.（）设直线的方程为,.的面积为定值1.【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求
8、点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得【小试牛刀】【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，求证：为定值.【解析】（1）设椭圆的方程为，则由题意知.即椭圆的方程为（2）设、点的坐标分别为，.又易知点的坐标为显然直线存在的斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得，将
9、各点坐标代入得，圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中寻找不变的要素,可以先通过特例、极限位置等探求定值、定点,然后利用推理证明的方法证明之四、迁移运用1【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】直线与抛物线：交于两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则直线过定点（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，又，解得.将直线：代入，得，.即直线：，所以过定点2.【湖南省浏阳一中、醴陵一中联考】双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，设内切圆的半径为由得，整理得 因为P为双曲线右支上一点，所以，所以故选D3.【江西省南昌市2019月
10、考】已知椭圆：的右焦点为,且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、的中点分别为、，且三条边所在直线的斜率分别为、，且、均不为0.为坐标原点，若直线、的斜率之和为1.则（ ）A B-3 C D【答案】A【解析】因为椭圆：的右焦点为,且离心率为，且 所以可求得椭圆的标准方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），因为A、B在椭圆上，所以 ，两式相减得 ，即同理可得所以因为直线、的斜率之和为1所以所以选A4【福建省2019届适应性练习（四)】设为坐标原点，动圆过定点, 且被轴截得的弦长是8.（）求圆心的轨迹的方程；
11、（）设是轨迹上的动点，直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.【解析】 ()设动圆半径为由动圆被轴截得的弦长是8得消去得故圆心的轨迹的方程() 设直线， ，联立方程得，消去得，则， 设直线的倾斜角分别是 ，同理， ，故直线过定点 5.【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点(I)求椭圆C的方程；(II)设椭圆C的右焦点为F，直线与椭圆C相切于点A，与直线相交于点B，求证：的大小为定值【解析】()椭圆C过点， 离心率为 又 由得，.椭圆C的方程为C：.()显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m.由消y得由得.切点A的坐标为又点B的坐标为，右焦点F的坐标为，AFB=
12、90，即AFB的大小为定值.6【江西省赣州市十四县（市）2018届高三下学期期中】已知椭圆系方程： (， )， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且.（1）求的方程；（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值【解析】（1）由题意得椭圆的方程为： ，即 ，又为椭圆上一点，即，又，,椭圆的方程为 （2）解：当直线斜率存在时，设方程为,由消去y整理得，直线与椭圆相切，整理得 设，则，且，点到直线的距离，同理由消去y整理得，设，则， ， 当直线斜率不存在时，易知综上可得的面积为定值 7【四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联
13、考】已知椭圆： 的长轴长为， ， 是其长轴顶点， 是椭圆上异于， 的动点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若动点在直线上，直线， 分别交椭圆于， 两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意知则，设， ， ，则 ，由，则，则，则，由此可得椭圆的标准方程为.（2）设，则直线的方程为；则直线的方程为联立得消去得： ，则，即代入直线的方程得，故.联立得消去得： ，则，即代入直线的方程得，故.当，即，则与轴交点为，当，即时，下证直线过点，由 ，故直线过定点.8【江西省新余市2018届高三二模】已知抛物线过点，直线过点与抛物线交于， 两点.点关于轴的对
14、称点为，连接.（1）求抛物线线的标准方程；（2）问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】(1)将点代入抛物线的方程得， .所以，抛物线的标准方程为.(2)设直线的方程为，又设， ，则.由得. 则， ， .所以.于是直线的方程为所以.当时， ，所以直线过定点.9【湖北省荆州中学2018届高三4月月考】已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设，过点斜率为的直线交轨迹于两点， 的延长线交轨迹于两点.若的面积为3，求的值. 记直线的斜率为，证明： 为定值，并求出这个定值.【解析】（1）设圆心，过点作轴，垂足为，则.，化简为：.当时，也满足
15、上式.动圆圆心的轨迹的方程为. （2）设直线的方程为， ，由，得， ， . ，解得. 设，则， .共线，即，解得： （舍）或.，同理， （定值） 10.如图,已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M,与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值【解析】(1)设F(c,0),因为b1,所以c,直线OB方程为yx,直线BF的方程为y(xc),解得B(,)又直线OA的方程为yx,则A(c,),kAB
16、.又因为ABOB,所以()1,解得a23,故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a,则直线l的方程为y0y1(y00),即y.因为直线AF的方程为x2,所以直线l与AF的交点为M(2,)；直线l与直线x的交点为N(,)则.因为P(x0,y0)是C上一点,则y1,代入上式得,即所求定值为.11.如图,设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为,点是轨迹为上不同于的两点,且满足,求证：的面积为定值【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知设点的坐标为,由题意知,化简得的轨迹方程为 （2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点,且,则直线斜率必存在且不为0
17、,又由已知因为,所以 设直线的方程为,代入椭圆方程,得, 设的坐标分别为,则 又, 所以,得 又,所以,即的面积为定值 12如图,过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M,N两点,当平行于x轴和垂直于x轴时,被椭圆所截得的线段长均为.（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点的动直线都满足？若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点B的坐标【解析】（）由已知得,点在椭圆上,所以,解得,所以椭圆的方程为 （）当直线l平行于x轴时,则存在y轴上的点B,使,设；当直线l垂直于x轴时,若使,则,有,解得或所以,若存在与点A不同的定点B满足条件,则点B的坐标只可能是下面证明：对任意直线l,都有,即当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立；当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为设M,N的坐标分别为,由得,其判别式,所以, 因此,易知点N关于y轴对称的点的坐标为又,所以,即三点共线,所以故存在与点A不同的定点,使得