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1、章末综合检测(二)学生用书P117(单独成册)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1正方体的8个顶点可以确定平面的个数为()A6B8C14D20解析：选D正方体本身有6个面；正方体每两条平行的棱(不在正方体的同一面上)可以确定一个平面，有6个；正方体共顶点的三条棱的另外三个顶点确定一个平面，有8个所以正方体的8个顶点共可以确定20个平面2空间中有三条线段AB，BC，CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A平行B异面C相交或平行D平行或异面或相交均有可能解析：选D如图可知AB，CD有相交，
2、平行，异面三种情况，故选D3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是()A等边三角形B矩形C等腰梯形D以上都有可能解析：选D当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；当点Q不与点D，D1重合时，令Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)故选D4给出下列命题：过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直；若直角三角形ABC在平面内的射影仍是直角三角形，则平面ABC平
3、面.其中正确命题的个数为()A0B1C2D3解析：选A对于，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面平行的直线，显然不正确；对于，容易判断是错误的；对于，平面ABC与平面也有可能相交，因此不正确故选A5对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()Aa，bBa，bCa，bDa，b解析：选B因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则Ab，过A作直线cb，则过a，c必存在平面且使得a，b.6已知直线PG平面于点G，直线EF，且PFEF于点F，那么线段PE，PF，PG的长度的大小关系是()APEPGPFBPGPFPECPEPFPGDPFPEPG解析：选C
4、RtPFE中，PEPF，RtPGF中，PFPG，所以PEPFPG.7如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A平行B相交C异面D相交成60解析：选D如图所示，ABC为正三角形，故AB，CD相交成60.8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为()A30B45C60D90解析：选D连接AC，底面是正方形，则ACBD，由几何体是正方体，可知BDAA1，又ACAA1A，所以BD平面C1CAA1，因为CE平面C1CAA1，所以BDCE，所以异面直线BD，CE所成角是90.故选D9如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，
5、ADCD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：选C因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC同理，DEAC，又DEBEE，于是AC平面BDE.又AC平面ABC，AC平面ADC，所以平面ABC平面BDE，平面ADC平面BDE.故选C10若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定解析：选D如图，在长方体ABCD
6、A1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B故选D11在等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A30B60C90D120解析：选C如图所示，由ABBC1，ABC90，得AC.因为M为AC的中点，所以MCAM.且CMBM，AMBM，所以CMA为二面角CBMA的平面角因为AC1，MCAM，所以CMA90.12如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结
7、论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45解析：选D选项A，B，C显然错误因为PA平面ABC，所以PDA是直线PD与平面ABC所成的角因为ABCDEF是正六边形，所以AD2AB因为tanPDA1，所以直线PD与平面ABC所成的角为45.故选D二、填空题：本题共4小题，每小题5分13已知a，b表示不同的直线，表示不重合的平面若a，b，ab，则；若a，a垂直于内任意一条直线，则；若，a，b，则ab；若a，b，ab，则.上述命题中，正确命题的序号是_解析：对可举反例，如图，需b才能推出；对可举反例说明，当不与，的交线垂直时，即可知a，b不垂
8、直；根据面面、线面垂直的定义与判定知正确答案：14如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SESA_时，SC平面EBD解析：连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点因为SC平面EBD且平面EBD平面SACEO，所以SCEO，所以点E是SA的中点，此时SESA12.答案：1215已知直二面角l，A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离为_解析：如图，作DEBC于点E，由l为直二面角，ACl，得AC，进而ACDE，又BCDE，BCACC，于是DE平面ABC，故DE
9、为D到平面ABC的距离在RtBCD中，利用等面积法得DE.答案：16如图，在棱长均相等的正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：PC平面OMN；平面PCD平面OMN；OMPA；直线PD与直线MN所成角的大小为90.其中正确结论的序号是_解析：连接AC，易得PCOM，所以PC平面OMN，结论正确同理PDON，所以平面PCD平面OMN，结论正确由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2BC2PA2PC2AC2，所以PCPA，又PCOM，所以OMPA，结论正确由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MNAB又四边形ABCD为正方形，所以ABCD，所以直线P
10、D与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为PDC又三角形PDC为等边三角形，所以PDC60，故错误答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PBPD(1)求证：BDPC；(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BCl.证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC又因为PBPD，O为BD的中点，所以BDPO.因为POACO，所以BD平面PAC，因为PC平面PAC，所以BDPC(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BCAD因为BC平面PAD，AD平面P
11、AD所以BC平面PAD又因为BC平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l.所以BCl.18(本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，AB平面PAC，APC90，E是AB的中点，M是CE的中点，N在PB上，且PB4PN.(1)求证：平面PCE平面PAB；(2)求证：MN平面PAC证明：(1)因为AB平面PAC，所以ABPC又APC90，所以APPC，又ABAPA，所以PC平面PAB又PC平面PCE，所以平面PCE平面PAB(2)取AE的中点Q，连接QN，QM，在AEC中，因为M是CE的中点，所以QMAC又PB4PN，AB4AQ，所以QNAP，又QMQNQ，ACAPA，所以平面QMN平面P
12、AC又MN平面QMN，所以MN平面PAC19(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2，求三棱锥CA1DE的体积解：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点又D是AB中点，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD因为ACCB，D为AB的中点，所以CDAB又AA1ABA，所以CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2得ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D
13、2DE2A1E2，即DEA1D所以V三棱锥CA1DE1.20(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.求证：(1)EN平面PDC；(2)BC平面PEB；(3)平面PBC平面ADMN.证明：(1)因为ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD平面PBC又平面ADMN平面PBCMN，所以ADMN.又因为ADBC，所以MNBC又因为N为PB的中点，所以M为PC的中点，所以MNBC因为E为AD的中点，DEADBCMN，所以DEMN，所以四边
14、形DENM为平行四边形，所以ENDM.又因为EN平面PDC，DM平面PDC，所以EN平面PDC(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，E为AD中点，所以BEAD又因为PEAD，PEBEE，所以AD平面PEB因为ADBC，所以BC平面PEB(3)由(2)知ADPB又因为PAAB，且N为PB的中点，所以ANPB因为ADANA，所以PB平面ADMN.又因为PB平面PBC，所以平面PBC平面ADMN.21(本小题满分12分)如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD90，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到图(2)中A1BE的位置，得到四棱
15、锥A1BCDE.(1)求证：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解：(1)证明：在题图(1)中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD90，所以BEAC，BCED，即在题图(2)中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC又BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，所以CDBE，所以CD平面A1OC(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由题图(1)，可知A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2.从而四棱锥A1BCDE的体积VSA1Oa2aa3.由a336
16、，得a6.22(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点ABBC，AC2，AA1.(1)求证：B1C平面A1BM；(2)求证：AC1平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由解：(1)证明：连接AB1交A1B于O，连接OM.如图所示在B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OMB1C又OM平面A1BM，B1C平面A1BM，所以B1C平面A1BM.(2)证明：因为侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC，所以AA1BM.因为M为棱AC的中点，ABBC，所以
17、BMAC又AA1ACA，所以BM平面ACC1A1，所以BMAC1.因为M为棱AC的中点，AC2，所以AM1.又AA1，所以在RtACC1和RtA1AM中，tanAC1CtanA1MA，所以AC1CA1MA，所以AC1CC1ACA1MAC1AC90，所以A1MAC1.因为BMA1MM，所以AC1平面A1BM.(3)存在点N，且当点N为BB1的中点，即时，平面AC1N平面AA1C1C设AC1的中点为D，连接DM，DN.如图所示因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DMCC1，且DMCC1.又N为BB1的中点，所以DMBN，且DMBN，所以四边形DMBN是平行四边形，所以BMDN.因为BM平面ACC1A，所以DN平面ACC1A1.又DN平面AC1N，所以平面AC1N平面ACC1A1.