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1、3.1 二维形式的柯西不等式 必修4-5 本节目标 1认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义 2通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题 1已知 a，bR，且 Pab 2 ，Q a2b2 2 ，则 P、Q 的关系是() APQBPQ CPQDPQ 答案C 前置学习 2已知 xy1，那么 2x23y2的最小值是() A.5 6 B.6 5 C.25 36 D.36 25 答案B 前置学习 3已知 2x2y21，则 2xy 的最大值是() A. 2B2 C. 3D3 解析2xy 212x2y2 3，故选 C. 答案C 前置学习 4已知 a，b，cR*，且 abc1，则1 a 1 b 1 c与
2、9 的大 小关系是_ 答案 1 a 1 b 1 c9 前置学习 1.二维形式的柯西不等式 定理 1：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当 且仅当_时，等号成立 2柯西不等式的向量形式 定理 2：设 是两个向量，则| |_， 当且仅当 是_，或存在实数 k，使_时，等号成立 3二维形式的三角不等式 定理 3：设 x1，y1，x2，y2R，那么x2 1y 2 1 x2 2y 2 2 _. 4二维形式的三角不等式的变式 用 x1x3代替 x1，用 y1y3代替 y1，用 x2x3代替 x2，用 y2 y3代替 y2，代入定理 3，得 x1x32y1y32 x2x
3、32y2y32_. 答 案 1.adbc 2.| 零向量 k 3. x1x22y1y22 4. x1x22y1y22 探究 1 在二维形式的柯西不等式的代数形式中， 取等号的条件 可以写成a b c d吗？ 提示 不可以当 b d0 时，柯西不等式成立，但a b c d不成立 探究 2用柯西不等式求最值时的关键是什么？ 提示利用柯西不等式求最值问题，通常设法在不等式一 边得到一个常数，并寻求不等式等号成立的条件. 1.二维形式的柯西不等式 (1)定理 1： 不等式中等号成立的条件是 adbc.这时我们称 (a，b)，(c，d)成比例如果 c0，d0，那么 adbca c b d， 若 cd0，
4、我们分情况说明：cd0，原不等式两边都为 0， 显然成立；当 c0，d0 时，原不等式化为(a2b2)d2b2d2， 是显然成立的；当 c0，d0 时，道理和一样，也是成立 的所以当 cd0 时，不等式也成立 (2)由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数 a，b，c，d，以下不等式成立： a2b2 c2d2|acbd|； a2b2 c2d2|ac|bd|. 2对二维柯西不等式的认识 二维柯西不等式与中学数学中的代数、几何、三角等各方 面都有联系，熟悉这些联系能更本质的把握不等式，并更自觉 地应用它 (1)由代数恒等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2
5、， 把 非负数(adbc)2舍去，易得不等式 (a2b2)(c2d2)(acbd)2. (2)如图，平面内点 B(c，d)到直线 axby0 的距离 BH 不 大于线段 OB 的长，因此有 |acbd| a2b2 c 2d2. 即(a2b2)(c2d2)(acbd)2. (3)如图所示，构造AOB，点 A(a，b)，B(c，d)，在AOB 中应用余弦定理可得， cosAOBOA 2OB2AB2 2OA OB a 2b2c2d2ac2bd2 2 a2b2 c2d2 acbd a2b2c2d2 . |cosAOB|1， (acbd)2(a2b2)(c2d2) 3巧用柯西不等式求最值 应用柯西不等式
6、可以简便解答某些含有约束条件的多元变 量的最值问题解答此类题的关键是构造两组数或两个向量， 使之符合柯西不等式的形式 【例 1】求证： x21x22 y21y22x1y12x2y22. 【分析】有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件， 但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构 特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的 【证明】 (x2 1x 2 2 y2 1y 2 2) 2 (x2 1x 2 2)(y 2 1y 2 2)2 x2 1x 2 2y 2 1y 2 2， 由柯西不等式，得(x2 1x 2 2)(y 2 1y 2 2)(x1y2x2y1) 2， 其中当且仅当 x1y2x2
7、y1时，等号成立 x2 1x 2 2y 2 1y 2 2x1y1x2y2. (x2 1x 2 2 y2 1y 2 2) 2(x2 1x 2 2)(y 2 1y 2 2)2(x1y1x2y2)(x1y1) 2(x 2y2) 2. x2 1x 2 2 y2 1y 2 2 x1y12x2y22. 其中等号当且仅当 x1y2x2y1时成立 规律技巧利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要 将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种 变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、 拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法，才能找到突破口 【变式训练 1】已知 a1，a2，b1，b2为正
8、实数， 求证：(a1b1a2b2) a1 b1 a2 b2(a1a2)2. 证明(a1b1a2b2) a1 b1 a2 b2 a1b12 a2b22 a1 b1 2 a2 b2 2 a1b1 a1 b1 a 2b2 a2 b2 2 (a1a2)2. 【例 2】 设 x0，y0，且 xy2，求 x2 2x y2 2y的最小值 【分析】 利用柯西不等式求最小值，需要出现(a2b2)(c2d2) 的结构，我们把 x2 2x y2 2y看作一部分，利用 xy2 构造出 一部分(2x2y)，不妨一试 【解】xy2，根据柯西不等式，有 (2x)(2y) x2 2x y2 2y ( 2x)2( 2y)2 x
9、 2x 2 y 2y 2 2x x 2x 2y y 2y 2 (xy)24， x2 2x y2 2y 4 2x2y 4 4xy 4 422. 当且仅当 2x y 2y 2y x 2x， 即 xy1 时，等号成立 当 xy1 时， x2 2x y2 2y有最小值 2. 【变式训练 2】求函数 y3 x1 102x的最大值 解由题可知函数的定义域满足 x10， 102x0， 即 x 1,5，令(3， 2)，( x1， 5x) 而 y3 x1 102x 3x1 25x | | | 32 22 x12 5x2 11 x15x2 11. 当且仅当 3 5x 2 x1， 即 x47 11时，取等号 所以
10、y 的最大值为 2 11. 【例 3】已知 x0，y0，且 ab1，求证： (axby)2ax2by2. 【分析】解答本题可用柯西不等式的向量形式 【证明】设 m( ax， by)， n( a， b)，则 |axby|m n| |m| |n| ax2 by2 a2 b2 ax2by2 ab ax2by2. (axby)2ax2by2. 规律技巧利用向量形式的柯西不等式时，要构造出向量 m 与 n，同时注意 m n 与|m|计算设 m(a，b)，n(c，d)， 则 m n(ac，bd)，|m| a2b2. 【变式训练 3】设 a0，b0，且 ab1，求证： 2a1 b1 3 22 2 . 证明 令 a1 2， b1 3 ，( 2，1)，则 | | 2a1b1 3. 而| a1 2b 1 3 11 6 ， 又| 3，| 22 2 . 由| |，得 2a1b1 3 22 2 . 随堂检测 在线完成3.1二维形式的柯西不等式随堂检测 完成后点击提交. 同学们要认真答题哦！ 二维柯西不等式| 代数形式 向量形式 三角形式 柯西不等式求最值 本课小结 作业布置 在线完成3.1二维形式的柯西不等式课后作业. 再见再见