《2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第九章 平面解析几何9.5 第1课时 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第九章 平面解析几何9.5 第1课时 .pdf（88页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、9.5椭圆 大一轮复习讲义 第九章平面解析几何 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做. 这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的. 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若，则集合P为椭圆； (2)若，则集合P为线段； (3)若，则集合P为空集. ZHISHISHULIZHISHISHULI 椭圆 焦点焦距 ac ac ab0) y2 a2 x2
2、b21(ab0) 性 质 顶点坐标 A1(a，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为_ 焦距|F1F2|_ 离心率 a，b，c 的关系 _ ec a(0，1) 2a2b 2c a2b2c2 【概念方法微思考】 1.在椭圆的定义中，若2a|F1F2|或2a1. 4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交. 判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式. (1)直线与椭圆相离0. 基础自测 JICHUZICEJICHU
3、ZICE 题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的 长半轴长，c为椭圆的半焦距).() (2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.() 1234567 (3)y 2 a2 x2 b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( ) (4)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相等.( ) 123456 题组二教材改编 解析当焦点在x轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4. 当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4
4、， m8.m4或8. 2.P49T4椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4，则 m 等于 7 A.4B.8C.4或8D.12 123456 3.P80T3(1)过点 A(3，2)且与椭圆x 2 9 y 2 4 1 有相同焦点的椭圆的方程为 A. x2 15 y2 101 B. x2 25 y2 201 C. x2 10 y2 151 D. x2 20 y2 151 7 解析 由题意知 c25，可设椭圆方程为 x2 5 y2 1(0)，则 9 5 4 1， 解得10或2(舍去)， 所求椭圆的方程为 x2 15 y2 101. 123456 4.P49T6已知点 P 是椭圆x 2 5 y
5、2 4 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_. 7 15 2 ，1 或 15 2 ，1 解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541， 所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0).由题意可得点P到x轴的距离为1， 所以 y 1，把 y 1 代入x 2 5 y 2 4 1， 得 x 15 2 ，又 x0，所以 x 15 2 ， 所以 P 点坐标为 15 2 ，1 或 15 2 ，1 . A.m2或m2 C.12或22m0，解得m2或2b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2的直线 l 交 C 于
6、A，B 两点，若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 A.x 2 3 y 2 2 1 B.x 2 3 y21 C. x2 12 y2 8 1 D. x2 12 y2 4 1 1234567 解析 AF1B 的周长为 4 3，4a4 3， a 3，离心率为 3 3 ，c1，ba2c2 2， 椭圆 C 的方程为x 2 3 y 2 2 1.故选 A. 2题型分类深度剖析 PART TWO 第1课时椭圆及其性质 题型一椭圆的定义及应用 自主演练自主演练 1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把 纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P
7、，则 点P的轨迹是 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线D.圆 解析由条件知|PM|PF|， |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆. 设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a， 所以ABC的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|) (|CF|CA|)2a2a4a 2.已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆x 2 3 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭 圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是 A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 解析 由椭圆的方程得 a 3. 4 3. 3.椭圆x
8、 2 4 y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相 交，一个交点为 P，则|PF2|等于 A.7 2 B. 3 2 C. 3 D.4 解析 F1( 3，0)，PF1x 轴， P 3， 1 2 ，|PF1|1 2，|PF2|4 1 2 7 2. 4.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最小值为_. 解析由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|. |PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M， P，F2三点共线时取得等号，
9、 x2 25 y2 161 5 又|MF2|6324025，2a10， |PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5. 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面 积及弦长、最值和离心率等. (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 思维升华 题型二椭圆的标准方程 多维探究多维探究 命题点1定义法 例1(1)(2019 丽水调研)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29， 动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 A. x2 64 y2 481 B. x2
10、48 y2 641 C. x2 48 y2 641 D. x2 64 y2 481 解析设圆M的半径为r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16，2c8， 即 a8，c4，ba2c24 3， 故所求的轨迹方程为 x2 64 y2 481. (2)在ABC中，A(4，0)，B(4，0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方 程是 A. x2 25 y2 9 1(y0) B. y2 25 x2 9 1(y0) C. x2 16 y2 9 1(y0) D. y2 16 x2 9 1(y0) 解析由|AC|BC|188108知
11、，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A， B，C不共线). 设其方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，则 a5，c4，从而 b3. 由 A，B，C 不共线知 y0.故顶点 C 的轨迹方程是 x2 25 y2 9 1(y0). 命题点2待定系数法 解析设椭圆的方程为mx2ny21(m，n0，mn). 例 2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 3 2， 5 2 ， ( 3， 5)，则椭圆的标准方程为_. y2 10 x2 6 1 由 3 2 2m 5 2 2n1， 3m5n1， 解得 m1 6，n 1 10. 椭圆方程为 y2 10 x2 6 1. (2)一个椭圆的
12、中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，) 是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为 _. 解析椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上， 可设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 3 x2 8 y 2 6 1 P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 4 a2 3 b21， 2a4c， 又 a2b2c2，a2 2，b 6，c 2， 椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 6 1. (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法. (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；
13、利用待定系数法要先定 形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0， mn)的形式. 思维升华 跟踪训练 1 (1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 3 2 ，且 椭圆 G 上一点到两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为 A. x2 36 y2 9 1 B.x 2 9 y2 361 C.x 2 4 y 2 9 1 D.x 2 9 y 2 4 1 椭圆上一点到两焦点的距离之和为12， 2a12，a6， 解析 依题意设椭圆 G 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 椭圆的离心率为 3 2 ， ec a 1b 2 a2 3 2 ，
14、即1 b2 36 3 2 ， 解得 b29，椭圆 G 的方程为 x2 36 y2 9 1，故选 A. (2)过点( 3， 5)，且与椭圆 y2 25 x2 9 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为 _. y2 20 x2 4 1 其焦点在y轴上，且c225916. 解析 所求椭圆与椭圆 y2 25 x2 9 1 的焦点相同， 设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0). c216，且c2a2b2，故a2b216. 又点( 3， 5)在所求椭圆上， 5 2 a2 3 2 b2 1，即 5 a2 3 b21. 由得b24，a220， 所求椭圆的标准方程为 y2 20 x2 4 1. 题型三椭
15、圆的几何性质 命题点1求离心率的值(或范围) 例 3 (1)设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的 点，PF2F1F2，PF1F230 ，则 C 的离心率为 A. 3 6 B.1 3 C. 1 2 D. 3 3 多维探究多维探究 解析方法一如图， 在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c， |PF1| 2c cos 30 4 3c 3 ，|PF2|2c tan 30 2 3c 3 . |PF1|PF2|2a， 即4 3c 3 2 3c 3 2a，可得 3ca. ec a 3 3 . 方法二(特殊值法)： 在RtPF2F1中，
16、令|PF2|1， PF1F230 ，|PF1|2，|F1F2| 3. e2c 2a |F1F2| |PF1|PF2| 3 3 . (2)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，F1，F2 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 为 椭圆上一点，|OP| 2 4 a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为 A. 2 4 B. 2 3 C. 6 3 D. 6 4 由椭圆定义得|PF1|PF2|2a， |PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2， 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列， |PF1| |PF2|F1F2|24c2， 则|PF1|2|P
17、F2|28c24a2， (xc)2y2(xc)2y28c24a2， 整理得x2y25c22a2， 解析 设 P(x，y)，则|OP|2x2y2a 2 8 ， 即a 2 8 5c22a2，整理得c 2 a2 3 8， 椭圆的离心率 ec a 6 4 . (3)(2018 杭州调研)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(abc0，a 2b2c2)的左、右焦点分别为 F1，F2，若以 F2为圆心，bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线， 切点为 T，且|PT|的最小值不小于 3 2 (ac)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是 _. 3 5， 2 2 而|PF2|的最小值为ac， 解析
18、因为|PT|PF2|2bc2(bc)， 所以|PT|的最小值为ac2bc2. 依题意，有ac2bc2 3 2 (ac)， 所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)， 所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)， 所以5c22ac3a20，所以5e22e30. 又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e23时，焦点在y轴上， 要使C上存在点M满足AMB120， 则a btan 60 3，即 m 3 3，解得 m9. 故m的取值范围为(0，19，). 故选A. (1)求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关 系式，常用方法
19、如下： 思维升华 直接求出 a，c，利用离心率公式 ec a求解. 由 a 与 b 的关系求离心率，利用变形公式 e1b 2 a2求解. 由椭圆的定义求离心率， ec a 2c 2a， 而 2a 是椭圆上任意一点到两焦点的距离之 和，2c 是焦距，从而与焦点三角形联系起来. 构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a 与c的关系，从而求得e，一般步骤如下： ()建立方程：根据已知条件得到齐次方程Aa2BacCc20； ()化简：两边同时除以a2，化简齐次方程，得到关于e的一元二次方程ABe Ce20； ()求解：解一元二次方程，得e的值； ()验算取舍：根据椭圆离
20、心率的取值范围e(0，1)确定离心率e的值. 若得到齐次不等式，可以类似求出离心率e的取值范围. (2)椭圆几何性质的应用技巧 与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考 时也要联想到图形. 椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa， byb，0b0)中， F 为右焦点， B 为上顶点， O 为坐标原点，直线 yb ax 交椭圆于第一象限内的点 C，若 SBFOSBFC，则椭圆 的离心率等于 A.2 21 7 B.2 21 7 C.2 21 3 D. 21 又因为SBFOSBFC， 解析 联立直线 yb ax 与椭圆 x2 a2 y2 b21， 得在第
21、一象限的交点为 C 2 2 a， 2 2 b ， 所以直线 BF 与直线 yb ax 的交点为线段 OC 的中点， 即线段 OC 的中点 2 4 a， 2 4 b 在直线 BF：x c y b1 上， 则 2 4 a c 2 4 b b 1，化简得椭圆的离心率 ec a 2 21 7 ，故选 A. (3)(2018 温州高考适应性测试)正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2 a2 y2 b21 上， 若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 A. 51 2 ，1 B. 0， 51 2 C. 31 2 ，1 D. 0， 31 2 解析由椭圆的对称性可知，正方形的四个顶点为直线y
22、x与椭圆的交点， 即 ab a2b2 ， ab a2b2 ， 因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以 c0，所以e43e210，又03B.a3或a3或6a60，解得a3或62)上的动弦 EF 过 的一个 焦点(动弦不在 x 轴上)，若 的另一个焦点与动弦 EF 所构成的三角形的周长为 20，则椭圆 的离心率为 A.1 5 B. 1 2 C. 2 5 D. 4 5 所以椭圆的离心率 ec a 2 5，故选 C. 12345678910111213141516 3.(2018 浙江省高考模拟试卷)已知椭圆的方程为 x2 12 y2 4 1，矩形 ABCD 的四个 顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在矩形的内
23、部，则矩形的长与宽的比值的取值 范围为 A.(1，2) B.(1，3) C.( 6，) D.(1， 6) 12345678910111213141516 解析根据椭圆与矩形的对称性知，矩形的相邻两边分别平行于x轴，y轴，且 椭圆与矩形都以原点O为对称中心， 如图是矩形的边过焦点时的情形， 由椭圆方程 x2 12 y2 4 1，知当 x2 2时，y 2 3 3 ， 故 A 2 2，2 3 3 ，此时，矩形的长与宽的比值为 6， 由于焦点在矩形的内部，所以矩形的长与宽的比值大于 6，故选 C. 12345678910111213141516 A.8B.10C.12D.15 4.设椭圆 x2 16
24、y2 121 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且满足PF1 PF2 9，则|PF1| |PF2|的值为 12345678910111213141516 根据椭圆定义，得|PF1|PF2|2a8，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|2 2|PF1| |PF2|64， 所以342|PF1| |PF2|64， 所以|PF1| |PF2|15.故选D. 解析 由椭圆方程 x2 16 y2 121， 可得 c 24， 所以|F1F2|2c4， 而F1F2 PF 2 PF1 ， 所以|F1F2 |PF 2 PF1 |，两边同时平方，得|F1F2 |2|PF 1 |22PF1 P
25、F2 |PF2 |2， 所以|PF1 |2|PF2 |2|F1F2 |22PF 1 PF2 161834， 12345678910111213141516 5.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大 专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将 沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个 焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦 点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1c1a2c2；a1c1a2
26、c2；c1 a1a1c2. 其中正确式子的序号是 A.B.C.D. 12345678910111213141516 解析观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确； a1c1a2c2|PF|，即式正确； 由a1c1a2c20，c1c20知， a1c1 c1 a1c2， c1 a1 c2 a2， 即式正确，式不正确.故选D. 12345678910111213141516 6.(2018 浙江省金华十校期末)椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，P 为椭圆 M 上任一点，且|PF1| |PF2|的最大值的取值范围是2b2，3b2，椭圆 M 的离心率为 e，
27、e1 e的最小值是 A. 2 2 B. 2 C. 6 6 D. 6 3 12345678910111213141516 解析由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a， |PF1| |PF2| |PF1|PF2| 2 2a2， 2b2a23b2， 即2a22c2a23a23c2， 1 2 c2 a2 2 3，即 2 2 e 6 3 . 令f(e)e1 e， 则f(e)在 2 2 ， 6 3 上是增函数， 当 e 2 2 时，e1 e取得最小值 2 2 2 2 2 . 12345678910111213141516 7.(2018 浙江七彩阳光联盟联考)已知椭圆的方程为x 2 9 y 2 4 1，过
28、椭圆中心的直线 交椭圆于 A， B 两点， F2是椭圆的右焦点， 则ABF2的周长的最小值为_， ABF2的面积的最大值为_. 10 2 5 12345678910111213141516 解析设F1是椭圆的左焦点.如图，连接AF1. 由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF2|BF2|2a6， 所以要使ABF2的周长最小，必有|AB|2b4， 所以ABF2的周长的最小值为10. 1 22c|yA| 5|yA|2 5， 2 ABF S 1 2 AF F S 所以ABF2面积的最大值为 2 5. 12345678910111213141516 8.设 F1，F2为椭圆 C：x 2 a2 y2 b2
29、1(ab0)的左、右焦点，经过 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若F2AB 是面积为 4 3的等边三角形，则椭圆 C 的方程为 _. x2 9 y 2 6 1 12345678910111213141516 ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程， 解析 F2AB 是面积为 4 3的等边三角形， 可求得|F1A|F1B|b 2 a . 又|F1F2|2c，F1F2A30 ，b 2 a 3 3 2c. 又 1 22c 2b2 a 4 3， a2b2c2， 由解得a29，b26，c23， 椭圆 C 的方程为x 2 9 y 2 6 1. 2 F AB S 1234567891011
30、1213141516 9.已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)与椭圆 C2： y2 a2 x2 b21(ab0)相交于 A，B，C， D 四点，若椭圆 C1的一个焦点为 F( 2，0)，且四边形 ABCD 的面积为16 3 ，则 椭圆 C1的离心率 e 为_. 2 2 12345678910111213141516 解析 联立 x2 a2 y2 b21， y2 a2 x2 b21， 两式相减得x 2y2 a2 x 2y2 b2 ，又 ab， 所以 x2y2 a2b2 a2b2， 故四边形 ABCD 为正方形， 4a2b2 a2b2 16 3 ， (*) 又由题意知a2b22，将
31、其代入(*)式整理得3b42b280， 所以b22，则a24， 所以椭圆 C 的离心率 e 2 2 . 12345678910111213141516 10.已知A，B，F分别是椭圆x21(00，则椭圆的离心率的取值范围为 _. y2 b2 0， 2 2 12345678910111213141516 解析 如图所示， 线段FA的垂直平分线为x1 1b2 2 ， 线段AB的中点为 1 2， b 2 . 因为 kABb，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率 k1 b， 所以线段 AB 的垂直平分线方程为 yb 2 1 b x1 2 . 把 x1 1b2 2 p 代入上述方程可得 yb 2 1b2
32、2b q. 因为 pq0，所以1 1b2 2 b 2 1b2 2b 0， 12345678910111213141516 化为 b1b2. 又 0|F1F2|， 所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， 其中长轴长为 4，焦距为 2，则短半轴长为 3， 所以点 M 的轨迹方程为x 2 4 y 2 3 1. 12345678910111213141516 12.已知椭圆 x2(m3)y2m(m0)的离心率 e 3 2 ，求 m 的值及椭圆的长轴和短 轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 12345678910111213141516 解 椭圆方程可化为x 2 m y2 m m3 1，m0. m m m
33、3 mm2 m3 0，m m m3， a2m，b2 m m3，c a2b2 mm2 m3 . 由 e 3 2 ，得 m2 m3 3 2 ，m1. 椭圆的标准方程为 x2y 2 1 4 1，a1，b1 2，c 3 2 . 12345678910111213141516 椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a2 和 2b1，焦点坐标为 F1 3 2 ，0 ， F2 3 2 ，0 ， 四个顶点的坐标分别为 A1(1，0)，A2(1，0)，B1 0，1 2 ，B2 0，1 2 . 技能提升练 12345678910111213141516 13.(2018 浙江省台州适应性考试)已知椭圆C的中心为原点O，F
34、(5，0)为椭圆 C的左焦点，P为椭圆C上一点，且满足|OP|OF|，|PF|6，则椭圆C的标准 方程为 A. x2 49 y2 241 B. x2 24 y2 491 C. x2 49 y2 251 D. x2 25 y2 491 12345678910111213141516 连接PM，则|FM|2|OF|10， 由|OP|OF|OM|知，FPPM，又|PF|6， 解析 如图，设椭圆 C 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，椭圆 C 的右焦点为 M， 所以|PM|102628，所以 2a|PF|PM|14， 所以a7，又c5， 所以b2a2c2492524， 所以椭圆 C 的
35、标准方程为 x2 49 y2 241. 12345678910111213141516 14.(2018 浙江省镇海中学模拟)设椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A，B 关于原点对称，且满足FA FB 0，|FB|FA|2|FB|，则椭圆 C 的 离心率的取值范围是 A. 2 2 ， 5 3 B. 5 3 ，1 C. 2 2 ， 31 D. 31，1) 12345678910111213141516 解析如图，作出椭圆的左焦点F，分别连接AB，AF，BF， 由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形. 由FA FB 0，知 FAFB， 所以四
36、边形AFBF为矩形，所以|AB|FF|2c. 设|AF|m，|AF|n， 则由椭圆的定义知mn2a， 在RtAFF中，m2n24c2. 由，得 mn2(a2c2)，则m n n m 2c2 a2c2. 12345678910111213141516 令 n mt，得 t 1 t 2c2 a2c2. 由|FB|FA|2|FB|，得 n mt1，2， 所以 t1 t 2c2 a2c2 2，5 2 ，即 2 2e2 1e2 5 2， 解得 2 2 e 5 3 ，故选 A. 拓展冲刺练 12345678910111213141516 15.(2018 嘉兴测试)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)
37、，直线 l1：y 1 2x，直线 l2：y 1 2x，P 为椭圆上任意一点， 过 P 作 PMl1且与 l2交于点 M， 作 PNl2且与 l1交于点 N， 若|PM|2|PN|2为定值，则椭圆的离心率为_. 3 2 12345678910111213141516 解析 设 P(x0，y0)，则直线 PM 的方程为 y1 2x x0 2 y0， 直线 PN 的方程为 y 1 2 x x0 2 y0，分别与直线 l2，l1的方程联立可得 M x0 2 y0，x0 4 y0 2 ，N x0 2 y0，x0 4 y0 2 ， 从而|PM|2|PN|25 8x 2 05 2y 2 0. 又点 P(x0
38、，y0)在椭圆上，所以 b2x2 0a 2y2 0a 2b2. 又|PM|2|PN|2为定值，所以b 2 a2 5 8 5 2 1 4， 从而 e2a 2b2 a2 3 4，从而 e 3 2 . 16.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)，若椭圆 上存在点 P 使1cos 2PF 1F2 1cos 2PF2F1 a2 c2，求该椭圆的离心率的取值范围. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a， 解 由1cos 2PF 1F2 1cos 2PF2F1 a2 c2，得 c a sinPF2F1 sinPF1F2. 又由正弦定理得sinPF 2F1 sinPF1F2 |PF1| |PF2|， 所以|PF1| |PF2| c a，即|PF1| c a|PF2|. 所以|PF2| 2a2 ac，|PF 1| 2ac ac， 因为PF2是PF1F2的一边， 12345678910111213141516 即c22aca20，所以e22e10(0e1)， 所以有 2c 2ac ac 2a2 ac2c 2ac ac， 解得椭圆离心率的取值范围为( 21，1).