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1、专题08 数列大题部分【训练目标】1、 理解并会运用数列的函数特性；2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质；3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法；4、 掌握常用的求和方法；5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。【温馨小提示】高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。【名校试题荟萃】1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的
2、前n项和，求使得成立的n的最小值.【答案】（1） （2）10（2）由（1）可得，所以，由，即，因为，所以，于是使得成立的n的最小值为10.2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前 项和.【答案】（1） （2）（2）由函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为，从而，故从而，所以故。3、（辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题）设为数列的前项和，已知，（1）求，；（2）求数列的通项公式；（
3、3）求数列的前项和【答案】（1）1，2 （2） （3）（3）由（2）知，记其前项和为，于是得从而4、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知数列的前项和满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）记，为的前项和，求使成立的的最小值.【答案】（1） （2）5（2）由（1）知，由有，有，所以，的最小值为5.5、（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学（理）试题）已知数列满足，且， .（1）设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）把代入到，得，同除，得，为等差数列，首项，公差为1，.（2
4、）由，再利用错位相减法计算得：.。6、（安徽省肥东县高级中学2019届高三11月调研考试数学（理）试题）已知数列满足： ，.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）（2）由（）可知，设数列的前项和则。7、（广东省中山一中、仲元中学等七校2019届高三第二次联考（11月）数学（理）试题）已知数列为公差不为的等差数列,满足,且成等比数列.（1）求的通项公式；（2） 若数列满足（）,且,求数列的前项和.【答案】（1）（2）对上式也成立,所以,即, 所以.8、（江西省玉山县一中2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷）数列中，且满足，（1）设，求； （2）设，是否存在最
5、大的正整数，使得对任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，请说明理由。【答案】（1）（2）7从而故数列Tn是单调递增数列，又因是数列中的最小项，要使恒成立，故只需成立即可，由此解得m8，由于mZ*，故适合条件的m的最大值为79、（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学（文）试题）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和【答案】 （1）（2）【解析】（1）由题知数列是以为首项，为公差的等差数列，.10、（江西省南康中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项
6、和.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，得当时，有，所以即，满足时，所以是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式为11、已知数列an各项均不相同，a11，定义，其中n，kN*（1）若，求；（2）若bn1（k）2bn（k）对均成立，数列an的前n项和为Sn（i）求数列an的通项公式；（ii）若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值【答案】（1）（2）（i）；（ii）k2，t3【解析】（1）因为，所以，所以. （2）（i）因为bn1（k）2bn（k），得， 令k1,，k2， 由得，+得， +得，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 12、（江苏省盐城市2
7、019届高三上学期期中考试）已知正项数列的首项，前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增，求实数的取值范围；（3）若数列、都是等比数列，且满足，试证明：数列中只存在三项.【答案】（1） （2） （3）见解析【解析】（1），故当时，两式作差得：， 由为正项数列知，即为等差数列，故 。（2）由题意，化简得 ，所以，所以，由题意知 恒成立，即恒成立，所以，解得；13、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题）已知数列，满足，（1）证明：为等比数列并求的通项公式；（2）为数列的前项和，是否存在,使得成等差数列，若存在求出，不存在，请说明理由。
8、【答案】（1） （2）不存在（2）,.等式的左边是一个偶数，右边是一个奇数，所以不存在这样的，使得成等差数列.14、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题）设数列满足：（1）.求数列的通项公式；（2）.设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）见解析 （2） 当为奇数时，.当为偶数时，.15、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学（文）试卷）已知数列中，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析 （2）.所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而；（2），.，两式相减得，.，若为偶数，则，若为奇数，则，.16、（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（一）数学（理）试题）已知是等比数列，满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求正整数的值，使得对任意均有.【答案】（1） （2）5.得：，所以，则.由得：当时，；当时，；所以对任意，且均有故k=5.