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1、函数的应用【2019年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)确定函数零点；确定函数零点的个数；根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围(2)函数简单性质的综合考查函数的实际应用问题(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查利用函数性质解决相关的最值题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法【重点、难点剖析】1函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函
2、数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标 (3)零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0, 这个c也就是方程f(x)0的根注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解2应用函数模型解决实际问题的一般程序与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解
3、答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答3在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.【题型示例】题型一 函数的零点例1、（2018年全国I卷理数）已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+
4、）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=ABCD1 【答案】C【变式探究】【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=ABCD1【答案】C 【解析】函数的零点满足，设，则，当时，当时，函数 单调递减，当时，函数 单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值 ，【变式探究】(1)(2015海南)已知函数f(
5、x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)(2)x表示不超过x的最大整数，例如2.92，4.15.已知f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是() A1 B2 C3 D4(2)答案：B解析：函数h(x)f(x)g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，作出函数f(x)xx与函数g(x)log4(x1)的大致图象，如图，由图知，两函数图象的交点个数为2，即函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是2. 【变式探究】(2014江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的
6、函数，当x0,3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】函数yf(x)a在区间3,4上有互不相同的10个零点，即函数yf(x)，x3,4与ya的图象有10个不同交点在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图，可知当0a时满足题意 【方法技巧】1确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法，若方程易求解时用此法(2)零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识(3)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、
7、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解 (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式(组)求解题型二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解例2、(2018全国)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)答案C解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象
8、有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.【变式探究】已知偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1,0时，f(x)x2，若在区间1,3内，函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点，则实数a的取值范围是_答案(3,5)解析偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1,0时，f(x)x2，f(x2)f(x11)f(x)，函数f(x)的周期为2，在区间1,3内函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与yloga(x2)的图象在区间1
9、,3内有3个交点当0a1且解得3a0时，f(x)，则f(x)(x0)，故f(1)为f(x)在(0，)上的最大值设tf(x)，t2(m1)t1m0 有两个根t1，t2，由图可知，对应两个x值的t值只有一个，故可设t1对应一个x值，t2对应3个x值情况为或当属于第一种情况时，将0代入方程得m1，此时二次方程t2(m1)t1m0的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合第一种情况的要求；当属于第二种情况时，即m1. 题型三、函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题(2
10、)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答【例4】经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/时)(50x120)的关系可近似表示为：y(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x50,80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，当x65时，y有最小值6759.当x80,120时，函数单调递减，故当x120时
11、，y有最小值10.因为910，故当x65时每小时耗油量最低(2)设总耗油量为l，由题意可知ly.当x50,80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值16.当x80,120时，ly2为减函数当x120时，l取得最小值10.因为1016，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少【感悟提升】 (1)解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元 (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为x2002200200，当且仅当x，即x400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元