《2019年数学人教A必修二新一线同步课件：1．3 1．3.2 球的体积和表面积 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学人教A必修二新一线同步课件：1．3 1．3.2 球的体积和表面积 .pdf（47页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一章第一章空间几何体空间几何体 13.2 球的体积和表面积球的体积和表面积 第一章第一章空间几何体空间几何体 考点考点 学习目标学习目标 核心素养核心素养 球的表面积球的表面积 与体积与体积 记准球的表面积和体积公式记准球的表面积和体积公式， 会会 计算球的表面积和体积计算球的表面积和体积 数学运算数学运算 与球有关的与球有关的 组合体组合体 能解决与球有关的组合体的计能解决与球有关的组合体的计 算问题算问题 数学运算、直数学运算、直 观想象观想象 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 问题导学问题导学 预习教材预习教材 P27P28 的内容的内容，思考以下问题：思考以下问题
2、： 1球的表面积公式是什么？球的表面积公式是什么？ 2球的体积公式什么？球的体积公式什么？ 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 1球的表面积球的表面积 设球的半径为设球的半径为 R，则球的表面积则球的表面积 S_ 2球的体积球的体积 设设球的半径为球的半径为 R，则球的体积则球的体积 V_ 4R2 4 3R 3 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 名师点拨名师点拨 对球的体积和表面积的几点对球的体积和表面积的几点认识认识 (1)从公式看从公式看， 球的表面积和体积的大小球的表面积和体积的大小， 只与球的半径相关只与球的半径相关， 给定给定 R 都有唯一确定的
3、都有唯一确定的 S 和和 V 与之对应与之对应，故表故表面积和体积是面积和体积是 关于关于 R 的函数的函数 (2)由于球的表面不能展开成平面由于球的表面不能展开成平面，所以所以，球的表面积公式的球的表面积公式的 推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法 是不一样的是不一样的 (3)球的表面积恰好是球的大圆球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的过球心的平面截球面所得的 圆圆)面积的面积的 4 倍倍 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”
4、) (1)决定球的大小决定球的大小的因素是球的半径的因素是球的半径( ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半 径径( ) (3)球的体积球的体积 V 与球的表面积与球的表面积 S 的关系为的关系为 VR 3 S.( ) 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 半径为半径为 3 的球的体积是的球的体积是( ) A9 B81 C27 D36 解析：选解析：选 D V4 3 3336. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 若一个球的直径为若一个球的直径为 2，则此球的表面积为则此球的表面积为( ) A2 B1
5、6 C8 D4 解析：选解析：选 D因因为球的直径为为球的直径为 2，所以球的半径为所以球的半径为 1，所以所以 球的表面积球的表面积 S4R24. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 把球的表面积扩大到原来的把球的表面积扩大到原来的 2 倍倍，那么体积扩大到原来那么体积扩大到原来 的的( ) A2 倍倍 B2 2倍倍 C 2倍倍 D32倍倍 解析：选解析：选 B设原球的半径为设原球的半径为 R，表面积表面积扩大扩大 2 倍倍，则半则半 径扩大径扩大 2倍倍，体积扩大体积扩大 2 2倍倍 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 如果三个球的半径之比是如果三个球的
6、半径之比是 123，那么最大球的表面积那么最大球的表面积 是其余两个球的表面积之和的是其余两个球的表面积之和的_倍倍 解析：设小球半径为解析：设小球半径为 1，则大球的表面积则大球的表面积 S大 大36，S小小S中中20，36 20 9 5. 答答案：案：9 5 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 球的表面积与体积球的表面积与体积 (1)已知球的体积是已知球的体积是32 3 ，则此球的表面积是则此球的表面积是( ) A12 B16 C16 3 D64 3 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 (2)如图如图，某几何体的三视图是三个某几何体的三视图是三个半径相半
7、径相 等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径， 若该几何体的体积是若该几何体的体积是28 3 ，则它的表面积是则它的表面积是 ( ) A17 B18 C20 D28 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 【解析解析】 (1)设球的半径为设球的半径为 R，则由已知得则由已知得 V4 3R 3 32 3 ，解得解得 R2. 所以球的表面积所以球的表面积 S4R216. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉由三视图可得此几何体为一个球切割掉1 8后剩下的几何体 后剩下的几何体， 设球的半径为设球的半径为 r， 故故7 8 4 3r 3 28 3 ，
8、所以所以 r2，表面积表面积 S7 8 4r23 4r 2 17，选选 A 【答案答案】 (1)B (2)A 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 (变条件变条件)若将本例若将本例(2)中的三视图换为如图所示的图形中的三视图换为如图所示的图形，且圆且圆 的半径为的半径为 1，则如则如何求解？何求解？ 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 解：解：由已知可得由已知可得，该几何体是四分之三个球该几何体是四分之三个球，其表面积是四其表面积是四 分之三个球分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面 积之和积之和 因为因
9、为 R1， 所以所以 S3 4 41221 2 124. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 球的体积与表面积的求法及注意事项球的体积与表面积的求法及注意事项 (1)要求球的体积或表面积要求球的体积或表面积，必须知道半径必须知道半径 R 或者通过条件能或者通过条件能 求出半径求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解然后代入体积或表面积公式求解 (2)半径和球心是球的最关键要素半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两把握住了这两点点，计算球计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体
10、 (3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体 积积，最重要的是还原组合体最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三并弄清组合体的结构特征和三 视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据 计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直 径相同的圆径相同的圆 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 1若一个球的表面积与其体积在数值上相等若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径则此球的半径 为为_
11、 解析：设此球的半径为解析：设此球的半径为 R，则则 4R24 3R 3， ，R3. 答案：答案：3 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 2两个球的半径相差两个球的半径相差 1，表面积之差为表面积之差为 28，则它们的体积则它们的体积 和为和为_ 解析：设大、小两球半径分别为解析：设大、小两球半径分别为 R，r， 则则 R r1， 4R24r228，所以 所以 R 4， r3. 所以体积和为所以体积和为 4 3R 3 4 3r 3 364 3 . 答案：答案：364 3 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 球的截面问题球的截面问题 如图如图，有一个水平放置的
12、透明无盖的有一个水平放置的透明无盖的 正方体容器正方体容器，容器高容器高 8 cm，将一个球放在容将一个球放在容 器口器口，再向容器内注水再向容器内注水，当球面恰好接触水当球面恰好接触水 面时测得水深为面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度如果不计容器厚度， 则球的体积为则球的体积为( ) A500 3 cm3 B866 3 cm3 C1 372 3 cm3 D2 048 3 cm3 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 【解析解析】 如图如图，作出球的一个截面作出球的一个截面，则则 MC 862(cm)， BM1 2AB 1 2 84(cm) 设球的半径为设球的半径为 R
13、 cm，则则 R2OM2MB2 (R2)242， 所以所以 R5， 所以所以 V球 球4 3 53500 3 (cm3) 【答案答案】 A 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 球的截面问题的解题技巧球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题有关球的截面问题，常画出过球心的截面常画出过球心的截面 圆圆，将问题转化为平面中圆的问题将问题转化为平面中圆的问题 (2)解题时要注意借助球半径解题时要注意借助球半径 R， 截面圆半径截面圆半径 r， 球心到截面的距离球心到截面的距离 d 构成的直角三角形构成的直角三角形，即即 R2d2r2. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体
14、空间几何体 平面平面 截球截球 O 的球面所得圆的半径为的球面所得圆的半径为 1，球球 心心 O 到平面到平面 的距离为的距离为 2，则此球的体积为则此球的体积为( ) A 6 B4 3 C4 6 D6 3 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 解析：解析：选选 B如图如图，设截面圆的圆心为设截面圆的圆心为 O， M 为截面圆上任一点为截面圆上任一点， 则则 OO 2，OM1. 所以所以 OM （ 2）21 3. 即球的半径为即球的半径为 3. 所以所以 V4 3( 3) 3 4 3. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 与球有关的切、接问题与球有关的切、接问
15、题 角度一角度一 球的外切正方体问题球的外切正方体问题 将棱长为将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球的正方体木块削成一个体积最大的球， 则该球的体积为则该球的体积为( ) A4 3 B 2 3 C 3 2 D 6 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 【解析解析】 由题意知由题意知，此球是正方体的内切球此球是正方体的内切球，根据其几何根据其几何 特征知特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的故可得球的 直径为直径为 2，故半径为故半径为 1，其体积是其体积是4 3 134 3 . 【答案答案】 A 栏目栏目 导引导引 第一章
16、第一章空间几何体空间几何体 角度二角度二 球的内接长方体问题球的内接长方体问题 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个且一个 顶点上的三条棱的长分别为顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为则此球的表面积为 _ 【解析解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即即 2R 122232 14， 所以球的表面积所以球的表面积 S4R214. 【答案答案】 14 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 角度角度三三 球的内接正四面体问题球的内接正四面体问题 若棱长为若棱长为 a 的正
17、四面体的各个顶点都在半径为的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上的球面上，求球的表面积求球的表面积 【解解】 把正四面体放在正方体中把正四面体放在正方体中， 设正方体棱长为设正方体棱长为 x， 则则 a 2x，由题意由题意 2R 3x 3 2a 2 6 2 a， 所以所以 S球 球4R23 2a 2. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 角度四角度四 球的内接圆锥问题球的内接圆锥问题 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是 球半径的一半球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为则该圆锥的体积和此球体积的比值为 _
18、 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 【解析解析】 当圆锥顶点与底面在球心两侧当圆锥顶点与底面在球心两侧 时时，如图所示如图所示，设球半径为设球半径为 r，则球心到该则球心到该 圆锥底面的距离是圆锥底面的距离是 r 2， ，于是圆锥的底面半径于是圆锥的底面半径 为为 r2 r 2 2 3r 2 ，高为高为3r 2 . 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 该圆锥的体积为该圆锥的体积为 1 3 3r 2 2 3r 2 3 8r 3， ，球体积为球体积为4 3r 3， ，所所 以该圆锥的体积和此球体积的比值为以该圆锥的体积和此球体积的比值为 3 8r 3 4 3r
19、 3 9 32. 同理同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和该圆锥的体积和 此球体积的比值为此球体积的比值为 3 32. 【答案答案】 9 32或 或 3 32 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 角度五角度五 球的内接直棱柱问题球的内接直棱柱问题 设三棱柱的侧棱垂直于底面设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为所有棱的长都为 a，顶顶 点都在一个球面上点都在一个球面上，则该球的表面积为则该球的表面积为( ) Aa2 B7 3a 2 C11 3 a2 D5a2 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 【解析解析】 由题意知
20、由题意知，该三棱柱为正三棱柱该三棱柱为正三棱柱，且且 侧棱与底面边长相等侧棱与底面边长相等，均为均为 a如图如图，P 为三棱为三棱 柱上底面的中心柱上底面的中心，O 为球心为球心，易知易知 AP2 3 3 2 a 3 3 a，OP1 2a， ，所以球的半径所以球的半径 R OA 满足满足 R2 3 3 a 2 1 2a 2 7 12a 2， ，故故 S球 球4R27 3a 2. 【答案答案】 B 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 (1)正方体的内切球正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球称球为正方体的内切球，此时此时 球的半径
21、为球的半径为 r1a 2， ，过在一个平面上的四个切点作截面如图过在一个平面上的四个切点作截面如图 (1) 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 (2)长方体的外接球长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球称球为长方体的外接球，根根 据球的定义可知据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径长方体的体对角线是球的直径，若长方体若长方体 过同一顶点的三条棱长为过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，过球心作长方体的对角过球心作长方体的对角 线线，则球的半径为则球的半径为 r21 2 a2b2c2，如图如图(2) 栏目栏目 导引导引 第一
22、章第一章空间几何体空间几何体 (3)正四面体的外接球正四面体的外接球 正四面体的棱长正四面体的棱长 a 与外接球半径与外接球半径 R 的关系为：的关系为：2R 6 2 a. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 一个高为一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为的圆锥内接于一个体积为 972 的球的球，在圆锥里又有一个内切球求：在圆锥里又有一个内切球求： (1)圆锥的侧面积；圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积圆锥里内切球的体积 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 解：解：(1)如图所示如图所示，作出作出轴截面轴截面，则等腰则等腰SAB 内接于内接于O，而而O
23、1内切于内切于SAB 设设O 的半径为的半径为 R， 则有则有4 3R 3 972， 所以所以 R3729，R9. 所以所以 SE2R18. 因为因为 SD16，所以所以 ED2. 连接连接 AE，又因为又因为 SE 是直径是直径， 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 所以所以 SAAE，SA2SD SE1618288， 所以所以 SA12 2. 因为因为 ABSD， 所以所以 AD2SD DE16232， 所以所以 AD4 2. 所以所以 S圆锥侧 圆锥侧4 212 296. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 (2)设内切球设内切球 O1的半径为的半径为
24、 r， 因为因为SAB 的周长为的周长为 2(12 24 2)32 2， 所以所以1 2r 32 21 2 8 216.所以所以 r4. 所以内切球所以内切球 O1的体积的体积 V球 球4 3r 3 256 3 . 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 1直径为直径为 6 的球的表面积和体积分的球的表面积和体积分别是别是( ) A36，144 B36，36 C144，36 D144，144 解析：选解析：选 B球的半径为球的半径为 3，表面积表面积 S43236，体积体积 V4 3 3336. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 2一个正方体的表面积与一个球的
25、表面积相等一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的那么它们的 体积比是体积比是( ) A 6 6 B 2 C 2 2 D3 2 解析： 选解析： 选 A 设正方体棱长为 设正方体棱长为 a， 球半径为球半径为 R， 由由 6a24R2 得得 a R 2 3 ，所以所以V1 V2 a3 4 3R 3 3 4 2 3 3 6 6 . 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 3若两球的体积之和是若两球的体积之和是 12，经过两球球心的截面圆周长之经过两球球心的截面圆周长之 和为和为 6，则两球的半径之差为则两球的半径之差为( ) A1 B2 C3 D4 解析：选解析：选 A设
26、两球的半径分别为设两球的半径分别为 R，r(Rr)，则由题意得则由题意得 4 3 R34 3 r312， 2R2r6， 解得解得 R 2， r1. 故故 Rr1. 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 4已知棱长为已知棱长为 2 的正方体的体积与球的正方体的体积与球 O 的体积相等的体积相等，则则 球球 O 的半径为的半径为_ 解析：设球解析：设球 O 的半径为的半径为 r，则则4 3r 3 23， 解得解得 r 3 6 . 答案：答案： 3 6 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 5已知过球面上已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半三点的截面
27、和球心的距离为球半 径的一半径的一半，且且 ABBCCA2，求球的表面积求球的表面积 解：设截面圆心为解：设截面圆心为 O，球心为球心为 O，连接连接 OA，OA，OO， 设球的半径为设球的半径为 R. 因为因为 OA2 3 3 2 22 3 3 . 在在 RtOOA 中中， OA2OA2OO2， 所以所以 R2 2 3 3 2 1 4R 2， ， 所以所以 R4 3， ， 所以所以 S球 球4R264 9 . 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 栏目栏目 导引导引 第一章第一章空间几何体空间几何体 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放