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1、第四章第四章圆与方程圆与方程 41.2 圆的一般方程圆的一般方程 第四章第四章圆与方程圆与方程 考点考点 学习目标学习目标 核心素养核心素养 圆的一般方程圆的一般方程 正确理解圆的方程的形式及特正确理解圆的方程的形式及特 点点，会由一般式求圆心和半径会由一般式求圆心和半径， 会在不同条件下求圆的一般式方会在不同条件下求圆的一般式方 程程 数学运算数学运算 与圆有关的轨与圆有关的轨 迹问题迹问题 会求与圆有关的简单轨迹问题会求与圆有关的简单轨迹问题 逻辑推理逻辑推理 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 问题导学问题导学 预习教材预习教材 P121P123 的内容的内容，思考以下问题
2、：思考以下问题： 1圆的一般方程是什么？有什么特点？圆的一般方程是什么？有什么特点？ 2方程方程 x2y2DxEyF0 表示圆的条件是什么？表示圆的条件是什么？ 3已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？ 4圆的圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？标准方程与一般方程怎样相互转化？ 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 1圆的一般方程的概念圆的一般方程的概念 当当 D2E24F0 时时，方程方程_叫做叫做 圆的一般方程圆的一般方程，其中圆心为其中圆心为_，半径长为半径长为 _ x2y2DxEyF0 D 2 ，E 2 1 2 D2E24F
3、 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 2方程方程 x2y2DxEyF0 表示的图形表示的图形 方程方程 条件条件 图形图形 x2y2 DxEy F0 D2E2 4F0 不表示任何图形不表示任何图形 D2E2 4F0 表示一个点表示一个点 D 2 ，E 2 D2E2 4F0 表示以表示以_为圆心为圆心，以以 _为半径长的圆为半径长的圆 D 2 ，E 2 1 2 D2E24F 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 名师点拨名师点拨 (1)圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点 x2，y2的系数相等且不为的系数相等且不为 0； 没有没有 xy 项项 (2)圆的标准方程和一般方
4、程的相互转化圆的标准方程和一般方程的相互转化 如图所示：如图所示： 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 (3)由圆的一般方程判断点与圆的位置关系由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点已知点 M(x0，y0)和圆的方程和圆的方程 x2y2DxEyF0(D2E2 4F0)，则其位置关系如表：则其位置关系如表： 位置关系位置关系 代数关系代数关系 点点 M 在圆外在圆外 x2 0 y2 0 Dx0Ey0F0 点点 M 在圆上在圆上 x2 0 y2 0 Dx0Ey0F0 点点 M 在圆内在圆内 x2 0 y2 0 Dx0Ey0F0，即即 k0来判断二元二次方程是否表示来判断二元二次方
5、程是否表示 圆时圆时，务必注意务必注意 x2及及 y2的系数的系数 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 若方程若方程 x2y22mx2ym25m0 表示表示 圆圆，求：求： (1)实数实数 m 的取值范围；的取值范围； (2)圆心坐标和半径圆心坐标和半径 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 解解：(1)据题意知据题意知 D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0， 即即 4m244m220m0， 解得解得 m1 5， ， 故故 m 的取值范围为的取值范围为 ，1 5 . (2)将方程将方程 x2y22mx2ym25m0 写成标准方程为写成标准方程为(x m)2(
6、y1)215m， 故圆心坐标为故圆心坐标为(m，1)，半径半径 r 15m. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 待定系数法求圆的一般方程待定系数法求圆的一般方程 已知一圆过已知一圆过 P(4，2)，Q(1，3)两点两点，且在且在 y 轴上轴上 截得的线段长为截得的线段长为 4 3，求圆的方程求圆的方程 【解解】 法一法一(待定系数法待定系数法)： 设圆的方程为设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 将将 P，Q 的坐标分别代入上式的坐标分别代入上式， 得得 4D 2EF200， D3EF100， 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 令令 x0，得得
7、 y2EyF0， 由已知由已知|y1y2|4 3， 其中其中 y1，y2是方程是方程的两根的两根， 所以所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48， 联立联立解得解得， D2， E0， F12 或或 D10， E8， F4. 故所求方程为故所求方程为 x2y22x120 或或 x2y210x8y40. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 法二法二(几何法几何法)： 由题意得线段由题意得线段 PQ 的的中垂线方程为中垂线方程为 xy10. 所以所求圆的圆心所以所求圆的圆心 C 在直线在直线 xy10 上上，设其坐标为设其坐标为(a， a1) 又圆又圆 C 的半径长的半径
8、长 r|CP| （a4）2（a1）2. 由已知圆由已知圆 C 截截 y 轴所得的线段长为轴所得的线段长为 4 3，而圆心而圆心 C 到到 y 轴的轴的 距离为距离为|a|. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 所以所以 r2a2 4 3 2 2， ，代入代入并将两端平方得并将两端平方得 a26a50， 解得解得 a11，a25， 所以所以 r1 13，r2 37. 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x1)2y213 或或(x5)2(y4)237. 即圆的方程为即圆的方程为 x2y22x120 或或 x2y210x8y40. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 待定系
9、数法求圆的一般方程的步骤待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为根据题意设所求的圆的一般方程为 x2y2DxEyF 0. (2)根据已知条件根据已知条件，建立关于建立关于 D，E，F 的方程组的方程组 (3)解此方程组解此方程组，求出求出 D，E，F 的值的值 (4)将所得的值代回所设的圆的方程中将所得的值代回所设的圆的方程中，就得就得到所求的圆的一到所求的圆的一 般方程般方程 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 求圆心在直线求圆心在直线 2xy30 上上，且过点且过点(5， 2)和和(3，2)的圆的一般方程的圆的一般方程 解：设所求圆的一般方程为解：
10、设所求圆的一般方程为 x2y2DxEyF0， 则圆心为则圆心为 D 2 ，E 2 . 因为圆心在直线因为圆心在直线 2xy30 上上， 所以所以 2 D 2 E 2 30. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 又因为点又因为点(5，2)和和(3，2)在圆上在圆上， 所以所以 52225D2EF0. 32(2)23D2EF0. 解解组成的方程组组成的方程组，得得 D4，E2，F5. 所以所求圆的一般方程为所以所求圆的一般方程为 x2y24x2y50. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 与圆有关的动点轨迹问题与圆有关的动点轨迹问题 已知圆已知圆 x2y24 上一定点上
11、一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内为圆内 一点一点，P，Q 为圆上的动点为圆上的动点 (1)求线段求线段 AP 中点的轨迹方程；中点的轨迹方程； (2)若若PBQ90，求线段求线段 PQ 中点的轨迹方程中点的轨迹方程 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 【解解】 (1)设设 AP 的中点为的中点为 M(x，y)，由中点坐由中点坐标公式可知标公式可知， P 点坐标为点坐标为(2x2，2y) 因为因为 P 点在圆点在圆 x2y24 上上， 所以所以(2x2)2(2y)24. 故线段故线段 AP 中点的轨迹方程为中点的轨迹方程为(x1)2y21. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章
12、圆与方程圆与方程 (2)设设 PQ 的中点为的中点为 N(x，y) 在在 RtPBQ 中中，|PN|BN|， 设设 O 为坐标原点为坐标原点，连接连接 ON，则则 ONPQ， 所以所以|OP|2|ON|2|PN|2 |ON|2|BN|2， 所以所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段故线段 PQ 中点的中点的轨迹方程为轨迹方程为 x2y2xy10. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 1 点点 P(4， 2)与圆与圆 x2y24 上任一点连线的中点的上任一点连线的中点的轨迹方轨迹方 程是程是( ) A(x2)2(y1)21
13、B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 解析：解析：选选 A设圆上任一点为设圆上任一点为 Q(x0，y0)，PQ 的中点为的中点为 M(x，y)，则则 x 4 x0 2 ， y 2y0 2 . 解得解得 x0 2x4， y02y2. 因为点因为点 Q 在圆在圆 x2y24 上上， 所以所以 x2 0 y2 0 4， 即即(2x4)2(2y2)24， 即即(x2)2(y1)2 1. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 2如图如图，经过点经过点 M(6，0)作圆作圆 C：x2y26x4y90 的割
14、线的割线， 交圆交圆 C 于于 A， B 两点两点， 求线段求线段 AB 的中点的中点 P 的轨迹的轨迹 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 解：解：圆圆 C 的方程可化为的方程可化为(x3)2(y2)24，其圆心为其圆心为 C(3， 2)，半径为半径为 2.设设 AB 的中点的中点 P 的坐标为的坐标为(x，y)， 则则 CPMP，所以所以 kCPkMP1， 即即y 2 x3 y x6 1，化简得化简得 x2y23x2y180， 所以点所以点 P 的轨迹是圆的轨迹是圆 x2y23x2y180 在在圆圆 C 内部的内部的 一段圆弧一段圆弧 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程
15、圆与方程 1若方程若方程 x2y2DxEyF0 表示以表示以(2，4)为圆心为圆心，4 为半径的圆为半径的圆，则则 D，E，F 分别为分别为( ) A4，8，4 B4，8，4 C8，4，16 D4，8，16 解析：选解析：选 B圆的标准方程为圆的标准方程为(x2)2(y4)216，展开展开得得 x2y24x8y40， 比较系数知比较系数知 D， E， F 分别是分别是4， 8， 4. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 2若方程若方程 x2y24x2y5k0 表示圆表示圆，则实数则实数 k 的取值的取值 范围是范围是( ) AR B(，1) C(，1 D1，) 解析：选解析：选
16、B因为因为 D2E24F0， 所以所以 16420k0，所以所以 k1. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 3 两圆两圆 x2y24x6y0 和和 x2y26x0 的圆心连线方程的圆心连线方程 为为( ) Axy30 B2xy50 C3xy90 D4x3y70 解析：选解析：选 C两圆的圆心分别为两圆的圆心分别为(2，3)，(3，0)，直线方程直线方程 为为 y0 3 32(x 3)即即 3xy90. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 4.已知圆已知圆 O：x2y24 及一点及一点 P(1，0)， Q 在圆在圆 O 上运动一周上运动一周，PQ 的中点的中点 M
17、形成形成 轨迹轨迹 C，则轨迹则轨迹 C 的方程为的方程为_ 解析：设解析：设 M 的坐标为的坐标为(x，y)，由中点坐标公式可知由中点坐标公式可知，Q 点坐点坐 标为标为(2x1，2y)，因为因为 Q 点在圆点在圆 x2y24 上上， 所以所以(2x1)2(2y)24.即即 x2y2x3 4 0. 答案：答案：x2y2x3 4 0 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 5已知圆已知圆 P 过点过点 A(1，0)，B(4，0) (1)若圆若圆 P 还过点还过点 C(6，2)，求圆求圆 P 的方程；的方程； (2)若圆心若圆心 P 的纵坐标为的纵坐标为 2，求圆求圆 P 的方程的方程
18、 解：解：(1)设圆设圆 P 的方程是的方程是 x2y2DxEyF0， 则由已知得则由已知得 1 2 02D0F0， 42024D0F0， 62（2）26D2EF0， 解得解得 D5， E7， F4， 故圆故圆 P 的方程为的方程为 x2y25x7y40. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 (2)由圆的对称性可知由圆的对称性可知，圆心圆心 P 的横坐标为的横坐标为1 4 2 5 2， ，故圆心故圆心 P 5 2， ，2 ， 故圆故圆 P 的半径的半径 r|AP| 15 2 2（ （02）25 2， ， 故圆故圆 P 的标准方程为的标准方程为 x5 2 2 (y2)225 4 . 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放