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1、章末复习提升课章末复习提升课 第四章第四章圆与方程圆与方程 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 求圆的方程求圆的方程 有一圆有一圆 C 与直线与直线 l：4x3y60 相切于点相切于点 A(3，6)， 且经过点且经过点 B(5，2)，求此圆的方程求此圆的方程 【解解】 法一：设圆的方程为法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 则圆心为则圆心为 C(a，b)，由由|CA|CB|，CAl，得得 （3a）2（6 b）2r2， （5a）2（2b）2r2， b6 a3 4 3 1. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 解
2、得解得 a 5， b9 2， ， r225 4 . 所以圆的方程为所以圆的方程为(x5)2 y9 2 2 25 4 . 法法二：二：设圆的方程为设圆的方程为 x2y2DxEyF0， 由由 CAl，A(3，6)、B(5，2)在圆上在圆上， 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 得得 3 2 623D6EF0， 52225D2EF0， E 2 6 D 2 3 4 3 1， 解得解得 D10， E9， F39. 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为 x2y210x9y390. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 求圆的方程的方法求圆的方程的方法 求圆的方程求圆的方程，可以用
3、直接法可以用直接法，即由条件直接求圆心和半径即由条件直接求圆心和半径， 但基本方法是以待定系数法为主但基本方法是以待定系数法为主，在设方程时应根据条件选在设方程时应根据条件选 择使用标准方程还是一般方程择使用标准方程还是一般方程，如果题目给出圆心坐标等关如果题目给出圆心坐标等关 系系，则采用标准方程；如果已知圆上多个点的坐标则采用标准方程；如果已知圆上多个点的坐标，则采用则采用 一般方程一般方程 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 已知圆经过点已知圆经过点 A(2，1)，圆心在直线圆心在直线 2xy 0 上且与直线上且与直线 xy10 相切相切，求圆的方程求圆的方程 解：法一：设
4、圆的方程为解：法一：设圆的方程为 x2y2DxEyF0， 其圆心为其圆心为 D 2 ，E 2 . 因为圆过点因为圆过点 A(2，1)， 所以所以 52DEF0， 又圆又圆心在直线心在直线 2xy0 上上， 所以所以 2 D 2 E 2 0，即即 2DE0. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 将将 yx1 代入圆方程得代入圆方程得 2x2(DE2)x(1EF)0. (DE2)28(1EF)0. 将将代入代入中中，得得(D2)28(12D5)0， 即即 D220D360，所以所以 D2 或或 D18. 代入代入，得得 D2， E4， F3， 或或 D18， E36， F67. 栏目
5、栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 故所求圆的方程为故所求圆的方程为 x2y22x4y30 或或 x2y218x36y670. 法二：法二：设圆的方程为设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0) 因为圆心在直线因为圆心在直线 y2x 上上，所以所以 b2a， 即圆心为即圆心为(a，2a) 又圆与直线又圆与直线 xy10 相切相切，且过且过点点(2，1)， 所以所以|a 2a1| 2 r，(2a)2(12a)2r2， 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 即即(3a1)22(2a)22(12a)2， 解得解得 a1 或或 a9， 所以所以 a1，b2，r 2或或 a9，b
6、18，r 338， 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x1)2(y2)22 或或(x9)2(y18)2338. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 过点过点 P(2，3)作圆作圆 C：(x4)2(y2)29 的两条的两条 切线切线，切点分别为切点分别为 A、B求：求： (1)经过圆心经过圆心 C、切点、切点 A、B 这三点的圆的方程；这三点的圆的方程； (2)直线直线 AB 的方程；的方程； (3)线段线段 AB 的长的长 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 【解解】 (1)如图所示如图所示， 连接连接 CA、 CB由由 平面几
7、何知识知平面几何知识知，CAPA，CB PB点点 P、A、C、B 共圆共圆，且且 CP 为为 直径这也是过三点直径这也是过三点 A、B、C 的圆的圆 因为因为 P(2，3)，C(4，2)，所以所求所以所求 圆 的 圆 心 坐 标 为圆 的 圆 心 坐 标 为 (1 ， 1 2 ) ， 半 径 为半 径 为 1 2 |CP| 1 2 （42）2（23）2 61 2 ， 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x1)2 y1 2 2 61 4 ， 即即 x2y22xy140. (2)直线直线 AB 即为这两个圆的公共弦所在直线即为这两个圆的公共弦所在
8、直线 由由 x2y22xy140 与与(x4)2(y2)29 相减相减，得得 6x 5y250，即直即直线线 AB 的方程为的方程为 6x5y250. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 (3)设设 AB、PC 交于点交于点 Q， 则则|PQ|6 （2）5（3）25| 6252 52 61 . |CQ|6 45225| 6252 9 61 . 在在 RtPCA 中中，因为因为 AQPC， 由平面几何知识知由平面几何知识知|AQ|2 52 61 9 61 468 61 . |AB|2|AQ|2 468 61 12 61 793. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 直
9、线与圆的位置关系的判断直线与圆的位置关系的判断 讨论直线与圆的位置关系时讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征一般可以从代数特征(方程组解方程组解 的个数的个数)或几何特征或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑去考虑， 其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用如直线其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用如直线 与圆相交求弦长时与圆相交求弦长时，利用公式利用公式 l 2 2 d2r2(其其中中，弦长为弦长为 l， 弦心距为弦心距为 d，半径为半径为 r)比利用代数法求弦长要简单实用比利用代数法求弦长要简单实用 栏目栏目 导引导引 第四章第四章
10、圆与方程圆与方程 已知圆已知圆 C 的圆心的圆心 C 在直线在直线 x2y0 上上 (1)若圆若圆 C 与与 y 轴的负半轴相切轴的负半轴相切，且该圆截且该圆截 x 轴所得的弦长为轴所得的弦长为 4 3，求圆求圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)已知点已知点 N(0，3)，圆圆 C 的半径为的半径为 3，且圆心，且圆心 C 在第一象在第一象 限限，若圆若圆 C 上存在点上存在点 M，使使|MN|2|MO|(O 为坐标原点为坐标原点)，求求 圆心圆心 C 的纵坐标的取值范围的纵坐标的取值范围 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 解：解：(1)因为圆因为圆 C 的圆心在直线的圆心
11、在直线 x2y0 上上，所以可设圆心所以可设圆心 为为(2a，a) 因为圆因为圆 C 与与 y 轴的负半轴相切轴的负半轴相切，所以所以 a0，半径半径 r2a， 又因为该圆截又因为该圆截 x 轴所得弦的弦长为轴所得弦的弦长为 4 3， 所以所以 a2(2 3)2(2a)2，解得解得 a2， 因此因此，圆心为圆心为(4，2)，半径半径 r4， 所以圆所以圆 C 的标准方程为的标准方程为(x4)2(y2)216. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 (2)圆圆 C 的半径为的半径为 3， 设圆设圆 C 的圆心为的圆心为(2a，a)，由题意由题意，a0， 则圆则圆 C 的方程为的方程为
12、(x2a)2(ya)29， 又因为又因为|MN|2|MO|，N(0，3)，设设 M(x，y)， 则则 x2（y3）22 x2y2，整理得整理得 x2(y1)24， 它表示以它表示以(0，1)为圆心为圆心，2 为半径的圆为半径的圆，记为圆记为圆 D， 由题意可知：点由题意可知：点 M 既在圆既在圆 C 上又在圆上又在圆 D 上上，即圆即圆 C 和圆和圆 D 有公共点有公共点 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 所以所以|32| （2a0）2（a1）25，且且 a0， 所以所以 a0， 5a22a0， 5a22a240， 即即 a0， 5a a2 5 0， （a2）（）（5a12）0
13、， 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 解得解得 a 0， a0或或a2 5， ， 2a12 5 ， 解得解得2 5 a12 5 ， 所以圆心所以圆心 C 的纵坐标的取值范围是的纵坐标的取值范围是 2 5， ，12 5 . 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 求圆心在直线求圆心在直线 xy40 上上，且经过圆且经过圆 x2y24x 60 与圆与圆 x2y24y60 的交点的圆的方程的交点的圆的方程 【解解】 法一：由法一：由 x2 y24x60， x2y24y60， 得得 x1 1， y11， x2 3， y23， 所以圆所以圆 x
14、2y24x60 与圆与圆 x2y24y60 的交点分别的交点分别 为为 A(1，1)，B(3，3)，线段线段 AB 的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为 y 1(x1) 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 由由 y 1（x1）， xy40， 解得解得 x 3， y1，所以所求圆的圆心坐 所以所求圆的圆心坐 标为标为(3，1)，半径长为半径长为 （33）2（31）24， 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216. 法二：法二：同法一求得同法一求得 A(1，1)，B(3，3)，设所求圆的方程设所求圆的方程 为为(xa)2(yb)2r2， 由由 ab40， （1
15、a）2（1b）2r2， （3a）2（3b）2r2， 解得解得 a3， b1， r216， 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216. 法三：法三：设所求圆的方程为设所求圆的方程为 x2y24x6(x2y24y6) 0，其中其中 1，化简可得化简可得 x2y2 4 1x 4 1y 60， 其圆心坐标为其圆心坐标为 2 1， ， 2 1 . 又圆心又圆心 2 1， ， 2 1 在直线在直线 xy40 上上， 所以所以 2 1 2 1 40，解得解得 1 3， ， 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为 x2y26x2y60. 栏目
16、栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 两圆相两圆相交常见问题的解法交常见问题的解法 (1)若两圆相交若两圆相交，只要只要 x2，y2的系数对应相等的系数对应相等，两圆方程作两圆方程作差差 所得方程即为两圆公共弦所在的直线方程所得方程即为两圆公共弦所在的直线方程 (2)求两圆公共弦长求两圆公共弦长，利用两圆方程组成的方程组求得两交利用两圆方程组成的方程组求得两交 点的坐标点的坐标，再利用两点间距离公式求解即可；再利用两点间距离公式求解即可；利用圆心到利用圆心到 公共弦所在直线的距离及勾股定理也可求得公共弦长公共弦所在直线的距离及勾股定理也可求得公共弦长 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆
17、与方程圆与方程 设圆设圆 C1： (x3)2(y2)24， 圆圆 C2：(x5)2 (y4)225， (1)判断圆判断圆 C1与圆与圆 C2的位置关系；的位置关系； (2)点点 A，B 分别是圆分别是圆 C1，C2上的动点上的动点，P 为直线为直线 yx 上的动上的动 点点，求求|PA|PB|的最小值的最小值 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 解：解：(1)由已知得：由已知得： 圆圆 C1： (x3)2(y2)24， 其圆心其圆心 C1(3， 2)， 半径半径 r12， 圆圆 C2： (x5)2(y4)225， 其圆心其圆心 C2(5， 4)， 半径半径 r25， 于是于是|C
18、1C2| （53）2（42）22 2， 又因为又因为|r1r2|3，所以所以|C1C2|r1r2|， 所以圆所以圆 C1与圆与圆 C2的位置关系为内含的位置关系为内含 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 (2)对于直线对于直线 yx 上的任一点上的任一点 P，要使要使|PA|PB|取得最小值取得最小值 可转化为求可转化为求|PC1|PC2|r1r2|PC1|PC2|7 的最小值的最小值， 由平面几何知识易知由平面几何知识易知 C1关于直线关于直线yx对称的点为对称的点为 C(2， 3)， C 与与 P，C2共线时共线时，|PC1|PC2|取得最小值取得最小值， 即直线即直线 yx
19、 上一点到两定点距离之和取得最小值为上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2| 7 2， 所以所以|PA|PB|的最小值的最小值(|PC1|PC2|7)min|CC2|7 7 27. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 与圆有与圆有关的最值问题关的最值问题 已知已知 P 是直线是直线 3x4y80 上的动点上的动点，PA、PB 是圆是圆 x2y22x2y10 的两条切线的两条切线，A、B 是切点是切点，C 是圆心是圆心， 求四边形求四边形 PACB 面积的最小值面积的最小值 【解解】 因为点因为点P在直线在直线3x4y80上上， 如图所示如图所示 所以设所以设 P x，23 4
20、x ， ， C 点坐标为点坐标为(1，1)， S四边形 四边形PACB2SPAC|AP| |AC|AP|， 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 因为因为|AP|2|PC|2|AC|2|PC|21， 所以当所以当|PC|最小最小时时，|AP|最小最小，四边形四边形 PACB 的面积最小的面积最小 因为因为|PC|2(1x)2 123 4x 2 25 16x 2 5 2x 10 5 4x 1 2 9， 所以所以|PC|min3， 当当|PC|最小时最小时，|PA| 3212 2， 所以四边所以四边形形 PACB 面积的最小值为面积的最小值为 2 2. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章
21、圆与方程圆与方程 解决与圆有关的最值问题的方法解决与圆有关的最值问题的方法 在解决有关直线与圆的最值和范围问题时在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是最常用的方法是 函数法函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用用 函数或方程的知识函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除尤其是配方的方法求出最值或范围；除 此之外此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据直接根据 图形和题设条件图形和题设条件， 应用图形的直观位置关系得出要求的范围应用图形的直观位置关系得出要求的范围， 其中
22、可应用平面几何知识其中可应用平面几何知识，找到要求最值的量的几何意义找到要求最值的量的几何意义， 再应用平面几何知识求出再应用平面几何知识求出要求的量的最值要求的量的最值 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 已知圆已知圆 C：(x2)2y21，P(x，y)为圆为圆 C 上上 任一点任一点 (1)求求y 2 x1的最大值与最小值； 的最大值与最小值； (2)求求 x2y 的最大值与最小值的最大值与最小值 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 解：解：(1)显然显然 y2 x1可以看作是点 可以看作是点 P(x，y)与点与点 Q(1， 2)连连线的斜率线的斜率 令令y 2
23、 x1 k， 如图所示如图所示， 则其最大、最小值分别是过点则其最大、最小值分别是过点 Q(1，2)的圆的圆 C 的两条切线的的两条切线的 斜率斜率 对上式整理得对上式整理得 kxyk20， 所以所以| 2k2k| 1k2 1，所以所以 k3 3 4 . 故故y 2 x1的最大值是 的最大值是3 3 4 ，最小值是最小值是3 3 4 . 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 (2)令令 ux2y， 则则 u 可视为一组平行线可视为一组平行线， 当直线和圆当直线和圆 C 有公有公 共点时共点时， u 的范围即可确定的范围即可确定， 且最且最值在直线与圆相切时取得值在直线与圆相切时取得 依题意依题意，得得| 2u| 5 1，解得解得 u2 5， 故故 x2y 的最大值是的最大值是2 5，最小值是最小值是2 5. 栏目栏目 导引导引 第四章第四章圆与方程圆与方程 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放