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1、三角形的“四心”三角形的“四心” 一、一、 外心外心 A BC A BC A BC A BC A BC A BC A BC 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心外心。 证明外心定理证明外心定理 证明证明: 设设AB、BC的中垂线交于点的中垂线交于点O， 则有则有OA=OB=OC， 故故O也在也在AC的中垂线上，的中垂线上， 因为因为O到三顶点的距离相等，到三顶点的距离相等， 故点故点O是是ABC外接圆的圆心外接圆的圆心 因而称为外心因而称为外心 O O 二、垂心二、垂心 A BC A BC A BC 三角形三边
2、上的高交于一点，这一点叫三角形的三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心垂心。 D E F 证明证明: AD、BE、CF为为ABC三条高，三条高， 过点过点A、B、C分别作对边的平行线分别作对边的平行线 相交成相交成ABC，AD为为BC 的中垂线；同理的中垂线；同理BE、CF也分别为也分别为 AC、AB的中垂线，的中垂线， 由外心定理，它们交于一点，由外心定理，它们交于一点， 命题得证命题得证 证明垂心定理证明垂心定理 A B C 设中线BE,CF交于点G,连结EF, 则EF/BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2. 同理中线AD,BE交于G ,连结DE,则: DE/AB,且
3、EG :G B=DG :G A=DE:AB=1:2, 故G ( , 证明同一法:) G 重合. 三、重心三、重心 A BC A BC A BC 三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心重心。 证明重心定理证明重心定理 EF D G 例例2证明：三角形证明：三角形重心重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍 另证另证: 连结EF,则EF为 ABC的中位线,EF/BC, 且EF:BC=1:2,由平行线分线段成比例 得 FG:GC=1:2,同样可得 EG:GB=1:2, DG:GA=1:2. A BC E F D G 重心重心 想想看？想想看？ 四、内心四、内心 A BC A BC A BC A BC A BC 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心内心。 证明内心定理证明内心定理 证明证明 : : 设设A A、C C的平分线相交于的平分线相交于I,I, 过过I I作作IDBCIDBC，IEACIEAC， IFABIFAB，则有，则有IE=IF=IDIE=IF=ID 因此因此I I也在也在C C的平分线上，的平分线上， 即三角形三内角平分线即三角形三内角平分线 交于一点交于一点 I I I I E F D