解析几何.pdf

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1、解析几何 要 点 回 扣 易 错 警 示 查 缺 补 漏 要点回扣 1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为倾斜角的范围为0，). (2)直线的斜率直线的斜率 定义：倾斜角不是定义：倾斜角不是90的直线的直线，它的倾斜角的正切值叫它的倾斜角的正切值叫 这条直线的斜率这条直线的斜率k，即即ktan (90)；倾斜角为；倾斜角为90的的 直线没有斜率；直线没有斜率；斜率公式：经过两点斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2， y2)的直线的斜率为的直线的斜率为k(x1x2)；直线的方向向量直线的方向向量a (1，k)；应用：证明三点共线：应用：证明三点共线：kABkB

2、C. y1y2 x1x2 问题1(1)直线的倾斜角直线的倾斜角越大越大，斜率斜率k就越大就越大， 这种说法正确吗这种说法正确吗？ 答案错错 (2)直线直线xcos y20的倾斜角的范围是的倾斜角的范围是 _. 3 0， 6 5 6 ，) 2.直线的方程直线的方程 (1)点斜式：已知直线过点点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为其斜率为k，则则 直线方程为直线方程为yy0k(xx0)，它不包括垂直于它不包括垂直于x轴的轴的 直线直线. (2)斜截式：已知直线在斜截式：已知直线在y轴上的截距为轴上的截距为b，斜率为斜率为k， 则直线方程为则直线方程为ykxb，它不包括垂直于它不包括垂直于x轴

3、的直线轴的直线. (3)两点式： 已知直线经过两点式： 已知直线经过 P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)两点，两点， 则直线方程为则直线方程为 yy1 y2y1 xx1 x2x1，它不包括垂直于坐标 ，它不包括垂直于坐标 轴的直线轴的直线. (4)截距式： 已知直线在截距式： 已知直线在 x 轴和轴和 y 轴上的截距为轴上的截距为 a， b， 则直线方程为则直线方程为x a y b 1，它不包括垂直于坐标轴的直，它不包括垂直于坐标轴的直 线和过原点的直线线和过原点的直线. (5)一般式：任何直线均可写成一般式：任何直线均可写成AxByC0(A， B不同时为不同时为0)的形式的形式.

4、问题2已知直线过点已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的且在两坐标轴上的 截距相等截距相等，则此直线的方程为则此直线的方程为_ _. 5xy0或或xy 60 3.点到直线的距离及两平行直线间的距离点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点点 P(x0，y0)到直线到直线 AxByC0 的距离为的距离为 d |Ax0By0C| A2B2 ； (2)两平行线两平行线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离为间的距离为 d |C1C2| A2B2. 问题3两平行直线两平行直线3x2y50与与6x4y50 间的距离为间的距离为_. 15 26 13 4.两直线的平行与垂直两直线的平

5、行与垂直 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(两直线斜率存在两直线斜率存在， 且不重合且不重合)，则有则有l1l2k1k2；l1l2k1 k21. l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则则 有有 l1l2A1B2 A2B1 0 且且 B1C2 B2C10 ； l1l2A1A2B1B20. 特别提醒：特别提醒：(1)A1 A2 B1 B2 C1 C2、 、 A1 A2 B1 B2、 、 A1 A2 B1 B2 C1 C2仅是两 仅是两 直线平行、相交、重合的充分不必要条件；直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析在解析 几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条

6、直几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直 线重合， 而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合线重合， 而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合 的两条直线的两条直线. 问题4设直线设直线l1：xmy60和和l2：(m2)x 3y2m0，当当m_时时，l1l2；当；当m_时时， l1l2；当；当_时时l1与与l2相交；当相交；当m _时时，l1与与l2重合重合. 1 1 2 m3且且m1 3 5.圆的方程圆的方程 (1)圆的标准方程：圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2. (2)圆的一般方程：圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E2 4F0)，只有当只有当D2E24F0时时，方程

7、方程x2y2 DxEyF0才表示圆心为才表示圆心为()，半径为半径为 的圆的圆. D 2 ，E 2 1 2 D2E24F 问题5若方程若方程a2x2(a2)y22axa0表示圆表示圆， 则则a_. 1 6.直线直线、圆的位置关系圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线l：AxByC0和圆和圆C：(xa)2(yb)2 r2(r0)有相交有相交、相离相离、相切相切.可从代数和几何两个方可从代数和几何两个方 面来判断：面来判断： 代数方法代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的判断直线与圆方程联立所得方程组的 解的情况解的情况)：0相交；相交；r相离；相离；dr相切相切.

8、 (2)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 已知两圆的圆心分别为已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为半径分别为r1，r2，则则当当 |O1O2|r1r2时时，两圆外离；两圆外离；当当|O1O2|r1r2时时，两圆外两圆外 切；切；当当|r1r2|b0)； 焦点在焦点在 y 轴上，轴上， y2 a2 x 2 b2 1(ab0). (2)双曲线标准方程： 焦点在双曲线标准方程： 焦点在 x 轴上，轴上， x2 a2 y 2 b2 1(a0， b0)；焦点在；焦点在 y 轴上，轴上， y2 a2 x 2 b2 1(a0，b0). (3)与双曲线与双曲线x 2 a2 y 2 b2 1 具有共同渐近

9、线的双曲线系为具有共同渐近线的双曲线系为 x2 a2 y2 b2 (0). (4)抛物线标准方程抛物线标准方程 焦点在焦点在x轴上：轴上：y22px(p0)； 焦点在焦点在y轴上：轴上：x22py(p0). 问题 8 与双曲线与双曲线x 2 9 y2 16 1 有相同的渐近线， 且过有相同的渐近线， 且过 点点(3,2 3)的双曲线方程为的双曲线方程为_. 4x2 9 y 2 4 1 9.(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到消元后得到 的方程中要注意二次项的系数是否为零的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的利用解的 情况可判断位置关系：有两解时相交；

10、无解时相离；情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离； 有唯一解时有唯一解时，在椭圆中相切在椭圆中相切.在双曲线中需注意直在双曲线中需注意直 线与渐近线的关系线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称在抛物线中需注意直线与对称 轴的关系轴的关系，而后判断是否相切而后判断是否相切. (2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 斜率为斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则所得弦长则所得弦长 |P1P2| 1k2 x1x2 24x1x2 或或 |P1P2| 1 1 k2 y1 y2 24y1y2. (3)过抛

11、物线过抛物线 y22px(p0)焦点焦点 F 的直线的直线 l 交抛物线交抛物线 于于 C(x1，y1)、D(x2，y2)，则，则(1)焦半径焦半径|CF|x1p 2； ； (2)弦长弦长|CD|x1x2p；(3)x1x2p 2 4 ，y1y2p2. 问题9已知已知F是抛物线是抛物线y2x的焦点的焦点，A，B是该是该 抛物线上的两点抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段则线段AB的中的中 点到点到y轴的距离为轴的距离为_. 解析 |AF|BF|xAxB1 2 3， xAxB5 2. 线段线段 AB 的中点到的中点到 y 轴的距离为轴的距离为x A xB 2 5 4. 5 4 易错点1直线倾斜

12、角与斜率关系不清致误 易错点2忽视斜率不存在情形致误 易错点3忽视“判别式”致误 易错警示 易错点1直线倾斜角与斜率关系不清致误 例1已知直线已知直线xsin y0，则该直线的倾斜角的则该直线的倾斜角的 变化范围是变化范围是_. 错解由题意得由题意得，直线直线xsin y0的斜率的斜率 ksin ， 1sin 1，1k1， 直线的倾斜角的变化范围是直线的倾斜角的变化范围是 4， ，3 4 . 找准失分点 直线斜率直线斜率ktan (为直线的倾斜角为直线的倾斜角)在在0，)上是上是 不单调的且不连续不单调的且不连续. 正解由题意得由题意得，直线直线xsin y0的斜率的斜率 ksin ， 1si

13、n 1，1k1， 当当1k0， 解得解得 k3 2， ， 故不存在被点故不存在被点A(1,1)平分的弦平分的弦. 正解2设符合题意的直线设符合题意的直线l存在存在，并设并设P(x1，y1)、 Q(x2，y2)， 则则 x2 1 y 2 1 2 1 x2 2 y 2 2 2 1 式式得得(x1x2)(x1x2)1 2(y1 y2)(y1y2) 因为因为A(1,1)为线段为线段PQ的中点的中点， 所以所以 x1x22 y1y22 将式将式、代入式代入式，得，得 x1x21 2(y1 y2). 若若 x1x2，则直线，则直线 l 的斜率的斜率 k y1y2 x1x2 2. 所以直线所以直线l的方程为

14、的方程为2xy10， 再由再由 y2x1 x2y 2 2 1 ，得，得 2x24x30. 根据根据80，n0)与曲线与曲线 x2y2|mn| 无交点，则椭圆的离心率无交点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是的取值范围是( ) A. 3 2 ，1 B. 0， 3 2 C. 2 2 ，1 D. 0， 2 2 查缺补漏 123456789 10 解析由于由于m、n可互换而不影响可互换而不影响， 可令可令 mn，则，则 x2 m y 2 n 1， x2y2mn， 则则 x22m n m2 nm ，若两曲线无交点，若两曲线无交点， 查缺补漏 123456789 10 则则 x20， b0)的右焦点的右焦点

15、 F 向其一条向其一条 渐近线作垂线，垂足为渐近线作垂线，垂足为 M，已知，已知MFO30 (O 为为 坐标原点坐标原点)，则该双曲线的离心率为，则该双曲线的离心率为_. 解析 由已知得点由已知得点 F 的坐标为的坐标为(c,0)(c a2b2)， 其中一条渐近线方程为其中一条渐近线方程为bxay0， 则则|MF| bc a2b2 b， 查缺补漏 123456789 10 由由MFO30 可得可得|MF| |OF| b c cos 30 3 2 ， 所以所以 c2a2 c 3 2 ， 所以所以 e c a 2. 答案2 查缺补漏 123456789 10 10.(2014 浙江浙江)设直线设直

16、线 x3ym0(m0)与双曲线与双曲线 x2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点的两条渐近线分别交于点 A，B. 若点若点 P(m,0)满足满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是，则该双曲线的离心率是 _. 查缺补漏 123456789 10 解析 双曲线双曲线x 2 a2 y 2 b2 1 的渐近线方程为的渐近线方程为 y b ax. 由由 yb ax， ， x3ym0 得得 A( am 3ba ， bm 3ba )， 由由 yb ax， ， x3ym0 得得 B( am a3b， ， bm a3b )， 所以所以 AB 的中点的中点 C 坐标为坐标为( a2m 9b2a2 ， 3b2m 9b2a2). 查缺补漏 123456789 10 设直线设直线l：x3ym0(m0)， 因为因为|PA|PB|，所以所以PCl， 所以所以kPC3，化简得化简得a24b2. 在双曲线中在双曲线中，c2a2b25b2， 所以所以 ec a 5 2 . 答案 5 2