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1、第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破考情研析本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视核心知识回顾1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝2创新型问题创新型试题在命题的立意，背
2、景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言符号语言图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决3实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)热点考向探究考向1 新定义型问题例1(1)(2019北京市顺义区高三第二次统练)已知集合M(x，y)|yf(
3、x)，若对于(x1，y1)M，(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，则称集合M是“互垂点集”给出下列四个集合：M1(x，y)|yx21；M2(x，y)|yln x；M3(x，y)|yex；M4(x，y)|ysinx1其中是“互垂点集”集合的为()AM1 BM2 CM3 DM4答案D解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合M1，当x10时，y11，x1x2y1y2y2x10不成立，所以集合M1不是“互垂点集”对于集合M2，x0，当x11时，y10，x1x2y1y2x20不成立，所以集合M2不是“互垂点集”对于集合M3，当x10时，y11，x1x2y1y2y2ex
4、20不成立，所以集合M3不是“互垂点集”排除A，B，C.故选D.(2)若函数yf(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对A，B为yf(x)的“友情点对”，点对A，B与B，A可看作同一个“友情点对”，若函数f(x)恰好由两个“友情点对”，则实数a的值为()A2 B2 C1 D0答案B解析首先注意到(0，a)没有对称点，当x0时，f(x)x36x29xa，则f(x)x36x29xa，即x36x29xa2(x0)有两个实数根，即ax36x29x2(x0)有两个实数根画出yx36x29x2(x0)的图象如图所示，由图可知a2 时有两个解遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定
5、义的性质按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解1若数列an满足0，nN*，p为非零常数，则称数列an为“梦想数列”已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3b99299，则b8b92的最小值是()A2 B4 C6 D8答案B解析依题意可得bn1pbn，则数列bn为等比数列又b1b2b3b99299b，则b502.b8b9222b504，当且仅当b8b92，即该数列为常数列时取等号2(2019长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种新运算：x*ylg (10x10y)，x，yR.对任意实数a
6、，b，c，给出如下结论：(a*b)*ca*(b*c)；a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)，其中正确的是()A B C D答案D解析根据运算法则，可知(a*b)*clg (10a10b10c)，a*(b*c)lg (10a10b10c)，所以(a*b)*ca*(b*c)，故正确；结合相应式子的运算律，可知a*bb*a，故正确；(a*b)clg (10a10b)c.(ac)*(bc)lg (10ac10bc)lg 10c(10a10b)lg (10a10b)c，所以(a*b)c(ac)*(bc)，故正确；所以正确的是，故选D.考向2 创新型问题例2(1)关于圆周率，数学发展史上出现过许多
7、有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计的值假如统计结果是m102，那么可以估计的值约为()A. B. C. D.答案B解析(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有，解得.(2)(2019重庆模拟)古典著作连山易中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两
8、种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为()A. B. C. D.答案C解析本题考查古典概型和排列组合依题意，从5种物质中任取2种，共有C10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P，故选C.高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略1把数列的所有数按
9、照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k行有2k1个数，第t行的第s个数(从左数起)记为A(t，s)，则数列中的项应记为_1答案A(8,17)解析令2n1287n144是数列的第144项，由S7127A(8,17)2(2019南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“”“”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2，则当x2,2时，函数f(x)(1x)x(2x)的最大值等于()A1 B1 C6 D12答案C解析由已知得1x2x所以f(x)可求出当x1时，函数的最大值是1；当1x2时，函数的最大值是6.所以当x2,2时，函数f(x)(
10、1x)x(2x)的最大值等于6，选C.考向3 实际应用型问题例3(1)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A点M B点N C点P D点Q答案D解析由题图2可知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以舍去N，M两点，不选B，A；若是P点，则从最高点到点C依次递减，与图2矛盾，因此取Q，即选D.(2)(2019湖南六校联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业
11、一个月生产某种商品x万件时的生产成本为f(x)x22x20(万元)，商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润收入成本)，该企业一个月应生产该商品的数量为()A9万件 B18万件C22万件 D36万件答案B解析由题意可得，获得最大利润时的收入是20x万元，成本是x22x20，所以此时的利润为M20xx218x20(x18)2142142，当且仅当x18时，取最大值故选B.1(2019全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“
12、鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr).设.由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()A. R B. RC. R D. R答案D解析由得rR，代入(Rr)，整理得.又33，33， ，rR R.故选D.2某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L(x)(单位：千双)是关于销售单价x(单位：元)的函数已知销售单价不低于1元当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元时，
13、月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元时，月销售量为2.125千双研究表明：当4x20时，月销售量L(x)与销售单价x的函数关系为L(x)b(a，b为常数)记月销售额(单位：千元)为f(x)xL(x)，为使f(x)达到最大值，则销售单价x应为()A1元 B2元 C3元 D4元答案D解析由题得，当1x4时，L(x)2.125；当x20时，L(x)0.205；当4x20时，L(x)b(a，b为常数)，则即解得所以L(x)，故函数L(x)的表达式为L(x)故f(x)xL(x)当1x4时，f(x)为增函数，故当x4时，f(x)的最大值为8.5；当43，故选B.3(2019上海市嘉定(长
14、宁)区高三二模)对于ABC，若存在A1B1C1，满足1，则称ABC为“V类三角形”“V类三角形”一定满足()A有一个内角为30 B有一个内角为45C有一个内角为60 D有一个内角为75答案B解析由对称性，不妨设A1和B1为锐角，则A1A，B1B，所以A1B1(AB)C，于是cosCsinC1sin(A1B1)sinC，即tanC1，解得C45，故选B.4(2019北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y就是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积
15、小于3.其中，所有正确结论的序号是()A B C D答案C解析由x2y21|x|y，当x0时，y1；当y0时，x1；当y1时，x0，1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，D(1,1)，E(1,0)，F(1,1)，所以正确由基本不等式，当y0时，x2y21|x|y1|xy|1，所以x2y22，所以，故正确如图，由知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故错误故选C.5(2019江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”(1)已知等比数列an(nN*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数
16、列an为“M数列”；(2)已知数列bn(nN*)满足：b11，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数若存在“M数列”cn(nN*)，对任意正整数k，当km时，都有ckbkck1成立，求m的最大值解(1)证明：设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由得解得因此数列an为“M数列”(2)因为，所以bn0.由b11，S1b1，得，则b22.由，得Sn.当n2时，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn.所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列因此，数列bn的通项公式为bnn(nN*)由知，bkk，kN*.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c11，q0.
17、因为ckbkck1，所以qk1kqk，其中k1,2,3，m(mN*)当k1时，有q1；当k2,3，m时，有ln q.设f(x)(x1)，则f(x).令f(x)0，得xe.列表如下：因为，所以f(k)maxf(3).取q，当k1,2,3,4,5时，ln q，即kqk，经检验知qk1k也成立因此所求m的最大值不小于5.若m6，分别取k3,6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5.金版押题6已知一族双曲线En：x2y2(nN*，n2019)，设直线x2与En在第一象限内的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为
18、Bn，Cn，记AnBnCn的面积为an，则a1a2a3a2019_.答案解析设An(x0，y0)，可得xy.双曲线En：x2y2(nN*，n2019)的渐近线方程为xy0，xy0.由点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn，不妨设Bn在第一象限内，可得|AnBn|，|AnCn|，易知双曲线En的两条渐近线互相垂直，可得AnBnAnCn，则AnBnCn的面积an|AnBn|AnCn|n，则a1a2a3a201920192020.配套作业一、选择题1某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之
19、间的函数关系用取整函数yx(其中x表示不大于x的最大整数)可以表示为()Ay ByCy Dy答案C解析根据题意，当x16时y1，所以A，B不正确；当x17时y2，所以D不正确，故选C.2(2019黄山市高三第二次质量检测)2018年，晓文同学参加工作，月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为()A7000 B7500 C8500 D9500答案C解析参加工作时就医费为700015%1050，设目前晓文同学的月工资为x，则目前的就医费为10%x，因此
20、10%x1050200850，x8500.故选C.3某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对由此可推测胡老师()A一定是南昌人 B一定是广州人C一定是福州人 D可能是上海人答案D解析若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意；若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意；若胡老师是上海人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意若胡老师是广州
21、人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意4设a，bR，定义运算“”和“”如下：abab若正数a，b，c，d满足ab4，cd4，则()Aab2，cd2 Bab2，cd2Cab2，cd2 Dab2，cd2答案C解析不妨设ab，cd，则abb，cdc.若b2，则a2，ab2，则d2，cd4，与cd4矛盾，c2.故cd2.故选C.5某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，当学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是()A逆时针方向匀速前跑 B顺时针方向匀速前跑C顺时针方向匀速后退
22、 D静止不动答案C解析令操场的周长为C，则学生B每隔50秒看一次，学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的6对函数f(x)，如果存在x00使得f(x0)f(x0)，则称(x0，f(x0)与(x0，f(x0)为函数图象的一组奇对称点若f(x)exa(e为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a的取值范围是()A(，1) B(1，)C(e，) D1，)答案B解析由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即y1ex1a，y2e x2a，因为关于原点对称，所以e
23、 x1ae x2a，即2ae x1ex2222，因为x1x2，所以a1，故选B.7若存在正实数a，b，使得xR有f(xa)f(x)b恒成立，则称f(x)为“限增函数”给出以下三个函数：f(x)x2x1；f(x)；f(x)sin(x2)，其中是“限增函数”的是()A B C D答案B解析对于，f(xa)f(x)b即(xa)2(xa)1x2x1b，即2axa2ab，x对一切xR恒成立，显然不存在这样的正实数a，b.对于，f(x)，即b，|xa|x|b22b，而|xa|x|a，|x|a|x|b22b，则，显然，当ab2时式子恒成立，f(x)是“限增函数”对于，f(x)sin(x2)，1f(x)sin
24、(x2)1，故f(xa)f(x)2，当b2时，对于任意的正实数a，b都成立故选B.8某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(lg 20.3，lg 1.30.11，lg 1.120.05)A2018年 B2019年C2020年 D2021年答案D解析设从2017年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130(112%)n200，1.12n，两边取常用对数得nlg 1.12lg ，n3.8，n4，故选D.9(2019湖南省
25、宁乡一中、攸县一中高三联考)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图根据折线图，下列结论正确的是()A月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B月跑步平均里程逐月增加C月跑步平均里程高峰期大致在8,9月D1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳答案D解析根据折线图得中位数为5月
26、份对应的里程数；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月减少，月跑步平均里程高峰期大致在9月，10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故选D.二、填空题10国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为_元答案3800解析设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，稿费应在8004000元之间，(x800)1
27、4%420，x3800.11(2019北京市东城区高三综合练习)设A，B是R上的两个子集，对任意xR，定义：mn若AB，则对任意xR，m(1n)_；若对任意xR，mn1，则A，B的关系为_答案0ARB解析AB.则当xA时，m0，m(1n)0.当xA时，必有xB，mn1，m(1n)0.综上可得m(1n)0.对任意xR，mn1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即当xA时，必有xB或xB时，必有xA，A，B的关系为ARB.12(2019濮阳市高二下学期升级考试)某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，
28、C可以开工；B，C完成后，D可以开工若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是_答案3解析A完成后，C才可以开工；B，C完成后，D才可以开工，完成A，C，D需用时间依次为2，x,4天，且A，B可以同时开工，又该工程共需9天，2xmax49xmax3.13(2019湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数f(x)则ff(1)_，若实数abc，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_答案4(2,4解析ff(1)f(21)484，因为abc，且f(a)f(b)f(c)，所以2a0b2c，bc4，因此abca4(2,414如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，ABBCAD1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EFAD于点F，将DEF沿EF折起到PEF的位置，并使PFAF，则五棱锥PABCEF的体积的取值范围为_答案解析PFEF，PFAF，EFAFF，PF平面ABCEF，设DFx(0x1)，则EFx，FA2x，SABCEFSABCDSDEF(12)1x2(3x2)，五棱锥PABCEF的体积V(x)(3x2)x(3xx3)，V(x)(1x2)0，得x1或x1(舍去)，当0x0，V(x)单调递增，故V(0)V(x)V(1)，即V(x)的取值范围是，故答案为.